Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1042. (September 2010)

C. 1042. Solve the equation x+y=x2-xy+y2, where x and y are integers.

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük az egyenletet \(\displaystyle x^2-(y+1)x+y^2-y=0\) alakra, és vizsgáljuk, mint másodfokú egyenletet \(\displaystyle y\) paraméterrel. Az egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle (y+1)^2-4(y^2-y)=1+6y-3y^2\). Az egyenletnek lesz megoldása, ha a diszkrimináns nemnegatív. Vizsgáljuk tehát (az ellentétét véve) a \(\displaystyle 3y^2-6y-1\le 0\) másodfokú egyenlőtlenséget. Ez teljesül, ha \(\displaystyle y\) legalább akkora, mint a bal oldal kisebbik gyöke, de legfeljebb akkora, mint a nagyobbik. A gyököket megoldóképlettel megkeresve kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{1-\frac{2\sqrt 3}{3}\le y \le 1+\frac{2\sqrt 3}{3}}\). Mivel a feladat szerint \(\displaystyle y\) egész, ezért \(\displaystyle y\) lehetséges értékei a \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\). Megjegyezzük, hogy az eredeti egyenletben \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepe szimmetrikus volt, ezért \(\displaystyle x\) szintén csak \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 2\) lehet. A lehetséges értékeket sorba behelyettesítve megoldandó tehát az \(\displaystyle x^2-x=0\) (x=0, 1), \(\displaystyle x^2-2x=0\) (x=0, 2) és az \(\displaystyle x^2-3x+2=0\) (x=1, 2) egyenletek. Az \(\displaystyle x+y=x^2-xy+y^2\) egyenlet megoldáshalmaza tehát: {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2)} .


Statistics:

295 students sent a solution.
5 points:128 students.
4 points:17 students.
3 points:29 students.
2 points:30 students.
1 point:41 students.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010