 |
A C. 1042. feladat (2010. szeptember) |
C. 1042. Oldjuk meg a
x+y=x2-xy+y2
egyenletet, ahol x és y egész számok.
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Rendezzük az egyenletet \(\displaystyle x^2-(y+1)x+y^2-y=0\) alakra, és vizsgáljuk, mint másodfokú egyenletet \(\displaystyle y\) paraméterrel. Az egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle (y+1)^2-4(y^2-y)=1+6y-3y^2\). Az egyenletnek lesz megoldása, ha a diszkrimináns nemnegatív. Vizsgáljuk tehát (az ellentétét véve) a \(\displaystyle 3y^2-6y-1\le 0\) másodfokú egyenlőtlenséget. Ez teljesül, ha \(\displaystyle y\) legalább akkora, mint a bal oldal kisebbik gyöke, de legfeljebb akkora, mint a nagyobbik. A gyököket megoldóképlettel megkeresve kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{1-\frac{2\sqrt 3}{3}\le y \le 1+\frac{2\sqrt 3}{3}}\). Mivel a feladat szerint \(\displaystyle y\) egész, ezért \(\displaystyle y\) lehetséges értékei a \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\). Megjegyezzük, hogy az eredeti egyenletben \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepe szimmetrikus volt, ezért \(\displaystyle x\) szintén csak \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 2\) lehet. A lehetséges értékeket sorba behelyettesítve megoldandó tehát az \(\displaystyle x^2-x=0\) (x=0, 1), \(\displaystyle x^2-2x=0\) (x=0, 2) és az \(\displaystyle x^2-3x+2=0\) (x=1, 2) egyenletek. Az \(\displaystyle x+y=x^2-xy+y^2\) egyenlet megoldáshalmaza tehát: {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2)} .
Statisztika:
295 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 128 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 29 versenyző. 2 pontot kapott: 30 versenyző. 1 pontot kapott: 41 versenyző. 0 pontot kapott: 41 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat.
A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai