Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1043. (September 2010)

C. 1043. Determine the range of the function given by the following rule of assignment: f(x)=\frac{{(x+a)}^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{{(x+b)}^2}{(b-a)(b-c)} +
\frac{{(x+c)}^2}{(c-a)(c-b)}, where a, b and c are different real numbers.

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. \(\displaystyle f(x)\) három másodfokú függvény összege, tehát legfeljebb másodfokú függvény. Továbbá \(\displaystyle f(-a)=f(-b)=f(-c)=1\). Ezért \(\displaystyle f(x)\) grafikonja nem parabola: a grafikon csak egyenes lehet, mivel ezek szerint \(\displaystyle f\) legfeljebb elsőfokú. Ekkor viszont ez az egyenes az \(\displaystyle y=1\), azaz \(\displaystyle f(x)=1\). A függvény értékkészlete: { 1 }.

2. megoldás. Közös nevezőre hozva a törteket algebrai átalakítások végén jutunk arra, hogy \(\displaystyle f(x)=1\).


Statistics:

232 students sent a solution.
5 points:155 students.
4 points:30 students.
3 points:19 students.
2 points:8 students.
1 point:7 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010