KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1049. (October 2010)

C. 1049. Consider the circles drawn on two adjacent sides of a square of side 2 units. Find the radius of the circle that touches one of the sides and one circle from the inside and the other circle from the outside.

(5 pont)

Deadline expired on 10 November 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egységkörök középpontjai legyenek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), az érintő kör középpontja \(\displaystyle C\), továbbá állítsunk merőlegest mindkét négyzetoldalra \(\displaystyle C\)-ből: a talppontok legyenek \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) az ábra szerint. A beírt kör sugara legyen \(\displaystyle r\), \(\displaystyle KA=x\). Az \(\displaystyle ACK\triangle\) és a \(\displaystyle BCL\triangle\) derékszögűek, Pithagorasz tételét felírva mindkét háromszögben \(\displaystyle (1-r)^2=r^2+x^2\) és \(\displaystyle (1+r)^2=(1-r)^2+(1+x)^2\). Az elsőből \(\displaystyle x^2=1-2r\), amit a másodikba helyettesítve rendezés után \(\displaystyle 1-2r+2x+1=4r\), azaz \(\displaystyle x=3r-1\). Az első egyenletből pedig \(\displaystyle x^2=1-2r=9r^2-6r+1\), ahonnan \(\displaystyle 9r^2-4r=0\). Mivel \(\displaystyle r>0\), ezért kapjuk, hogy a beírt kör sugara \(\displaystyle \frac 49\).


Statistics:

174 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:32 students.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:5 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley