KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1049. Consider the circles drawn on two adjacent sides of a square of side 2 units. Find the radius of the circle that touches one of the sides and one circle from the inside and the other circle from the outside.

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egységkörök középpontjai legyenek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), az érintő kör középpontja \(\displaystyle C\), továbbá állítsunk merőlegest mindkét négyzetoldalra \(\displaystyle C\)-ből: a talppontok legyenek \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) az ábra szerint. A beírt kör sugara legyen \(\displaystyle r\), \(\displaystyle KA=x\). Az \(\displaystyle ACK\triangle\) és a \(\displaystyle BCL\triangle\) derékszögűek, Pithagorasz tételét felírva mindkét háromszögben \(\displaystyle (1-r)^2=r^2+x^2\) és \(\displaystyle (1+r)^2=(1-r)^2+(1+x)^2\). Az elsőből \(\displaystyle x^2=1-2r\), amit a másodikba helyettesítve rendezés után \(\displaystyle 1-2r+2x+1=4r\), azaz \(\displaystyle x=3r-1\). Az első egyenletből pedig \(\displaystyle x^2=1-2r=9r^2-6r+1\), ahonnan \(\displaystyle 9r^2-4r=0\). Mivel \(\displaystyle r>0\), ezért kapjuk, hogy a beírt kör sugara \(\displaystyle \frac 49\).


Statistics on problem C. 1049.
174 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:32 students.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:5 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley