KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1052. T is the foot of the perpendicular drawn from vertex A of an acute-angled triangle ABC to side BC. The feet of the perpendiculars drawn from T to the sides AB and AC are P and Q. Prove that the quadrilateral BPQC is cyclic.

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel az \(\displaystyle APT\) és \(\displaystyle ATQ\) háromszögek derékszögűek és közös az (\(\displaystyle AT\)) átfogójuk, ezért a köréjük írt (Thalész) kör egybeesik. Úgy is mondhattuk volna, hogy az \(\displaystyle APTQ\) négyszög húrnégyszög, mert a szemközt levő szögeik (feladat szerint \(\displaystyle AT\)-tól különböző félsíkban vannak) összege \(\displaystyle 90^\circ + 90^\circ =180^\circ\). Felhasználva, hogy adott sugarú kör azonos hosszúságú íveihez (v. húrokhoz) tartozó középponti szögek nagysága megegyezik. Így \(\displaystyle TPQ\angle =TAQ\angle = 90^\circ - \gamma\). A vizsgálandó \(\displaystyle BCQP\) négyszögben \(\displaystyle QPB\angle + BCQ\angle = (90^\circ - \gamma + 90^\circ) + \gamma = 180^\circ\), azaz a \(\displaystyle BCPQ\) négyszög húrnégyszög.


Statistics on problem C. 1052.
181 students sent a solution.
5 points:101 students.
4 points:37 students.
3 points:18 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley