KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1052. (November 2010)

C. 1052. T is the foot of the perpendicular drawn from vertex A of an acute-angled triangle ABC to side BC. The feet of the perpendiculars drawn from T to the sides AB and AC are P and Q. Prove that the quadrilateral BPQC is cyclic.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel az \(\displaystyle APT\) és \(\displaystyle ATQ\) háromszögek derékszögűek és közös az (\(\displaystyle AT\)) átfogójuk, ezért a köréjük írt (Thalész) kör egybeesik. Úgy is mondhattuk volna, hogy az \(\displaystyle APTQ\) négyszög húrnégyszög, mert a szemközt levő szögeik (feladat szerint \(\displaystyle AT\)-tól különböző félsíkban vannak) összege \(\displaystyle 90^\circ + 90^\circ =180^\circ\). Felhasználva, hogy adott sugarú kör azonos hosszúságú íveihez (v. húrokhoz) tartozó középponti szögek nagysága megegyezik. Így \(\displaystyle TPQ\angle =TAQ\angle = 90^\circ - \gamma\). A vizsgálandó \(\displaystyle BCQP\) négyszögben \(\displaystyle QPB\angle + BCQ\angle = (90^\circ - \gamma + 90^\circ) + \gamma = 180^\circ\), azaz a \(\displaystyle BCPQ\) négyszög húrnégyszög.


Statistics:

181 students sent a solution.
5 points:101 students.
4 points:37 students.
3 points:18 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley