KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1053. (November 2010)

C. 1053. Prove that the sum (2n-1)2n+1+(2n+1)2n-1 is divisible by 4.

(Based on the idea of G. Holló, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Vizsgáljuk meg a tagok maradékát 4-gyel osztva \(\displaystyle n\) paritása szerint. Ha \(\displaystyle n=2k\) (páros), akkor az első tag \(\displaystyle (4k-1)^{4k+1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle (-1)^{4k+1}=-1\) maradékot ad. A második tag \(\displaystyle (4k+1)^{4k-1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle 1^{4k-1}=1\) maradékot ad, így összegük 0 maradékot ad 4-gyel osztva, tehát osztható 4-gyel. Ha páratlan, azaz \(\displaystyle n=2l+1\), akkor az első tag \(\displaystyle (4l+1)^{4l+3}\), ami 2 maradékot ad 4-gyel osztva, míg a második tag \(\displaystyle (4l+3)^{4l+1}\), ami -1 maradékot ad. Tehát ebben az esetben is igaz, hogy az összeg osztható 4-gyel.

2. megoldás. \(\displaystyle (2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}=(2n-1)^2 \cdot (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}=(4n^2 + 4n)(2n-1)^{2n-1} + (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) összegben az első tag osztható 4-gyel, mert \(\displaystyle 4n^2+4n=4n(n+1)\) osztható 4-gyel. A második két tag összege \(\displaystyle a^{2k+1}+b^{2k+1}\) alakú, amiből \(\displaystyle (a+b)\) ``kiemelhető'', azaz használva az \(\displaystyle (a+b)(a^{2k}-ba^{2k-1}+b^2 a^{2k-2}-+\dots -b^{2k-1 a + b^{2k}})\) azonosságot \(\displaystyle (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) osztható \(\displaystyle (2n-1)+(2n+1)=4n\)-nel, ami osztható 4-gyel.


Statistics:

228 students sent a solution.
5 points:72 students.
4 points:62 students.
3 points:33 students.
2 points:20 students.
1 point:24 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley