KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1053. Prove that the sum (2n-1)2n+1+(2n+1)2n-1 is divisible by 4.

(Based on the idea of G. Holló, Budapest)

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

1. megoldás. Vizsgáljuk meg a tagok maradékát 4-gyel osztva \(\displaystyle n\) paritása szerint. Ha \(\displaystyle n=2k\) (páros), akkor az első tag \(\displaystyle (4k-1)^{4k+1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle (-1)^{4k+1}=-1\) maradékot ad. A második tag \(\displaystyle (4k+1)^{4k-1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle 1^{4k-1}=1\) maradékot ad, így összegük 0 maradékot ad 4-gyel osztva, tehát osztható 4-gyel. Ha páratlan, azaz \(\displaystyle n=2l+1\), akkor az első tag \(\displaystyle (4l+1)^{4l+3}\), ami 2 maradékot ad 4-gyel osztva, míg a második tag \(\displaystyle (4l+3)^{4l+1}\), ami -1 maradékot ad. Tehát ebben az esetben is igaz, hogy az összeg osztható 4-gyel.

2. megoldás. \(\displaystyle (2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}=(2n-1)^2 \cdot (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}=(4n^2 + 4n)(2n-1)^{2n-1} + (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) összegben az első tag osztható 4-gyel, mert \(\displaystyle 4n^2+4n=4n(n+1)\) osztható 4-gyel. A második két tag összege \(\displaystyle a^{2k+1}+b^{2k+1}\) alakú, amiből \(\displaystyle (a+b)\) ``kiemelhető'', azaz használva az \(\displaystyle (a+b)(a^{2k}-ba^{2k-1}+b^2 a^{2k-2}-+\dots -b^{2k-1 a + b^{2k}})\) azonosságot \(\displaystyle (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) osztható \(\displaystyle (2n-1)+(2n+1)=4n\)-nel, ami osztható 4-gyel.


Statistics on problem C. 1053.
228 students sent a solution.
5 points:72 students.
4 points:62 students.
3 points:33 students.
2 points:20 students.
1 point:24 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley