KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1054. (November 2010)

C. 1054. F is the midpoint of edge BC of the unit cube ABCDA1B1C1D1, O is the centre of the square DCC1D1. The plane of triangle AFO cuts the cube into two solids. Find the ratio of the volumes of the two parts.

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük \(\displaystyle AFO\) síkját \(\displaystyle S\)-sel. Határozzuk meg \(\displaystyle S\) és a \(\displaystyle CC_1D_1D\) lap metszésvonalát. Az \(\displaystyle e(AF)\) egyenes az \(\displaystyle ABCD\) lap síkjának egyenese, ezért a \(\displaystyle CC_1D_1D\) lap síkját olyan pontban metszi, ami mindkét síknak pontja, azaz a \(\displaystyle e(CD)\) él egyenesén. Legyen ez a pont \(\displaystyle E\). \(\displaystyle ABF\triangle \cong ECF\triangle\), mert egymás tükörképeik \(\displaystyle F\)-re (v. megfelelő szögek csúcs szögek ill. derékszög, és a megfelelő befogó 1/2 hosszú), ezért \(\displaystyle CE=1\) és \(\displaystyle E\) pont rajta van a metsző \(\displaystyle S\) síkon. A feladat szerint \(\displaystyle O\) is \(\displaystyle S\)-en van, ezért \(\displaystyle e(OE)\) egyenes is \(\displaystyle S\) része. Ezen egyenes metszéspontjai \(\displaystyle CC_1\) és \(\displaystyle DD_1\) szakaszokkal legyenek rendre \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Párhuzamos szelőszakaszok tételét alkalmazva (\(\displaystyle CC_1\) és \(\displaystyle DD_1\) párhuzamosságából következik \(\displaystyle DH\) és \(\displaystyle CG\) párhuzamossága), felhasználva \(\displaystyle OT=1/2\) és \(\displaystyle TE=3/2\)-t kapjuk, hogy \(\displaystyle CG=1/3\) és \(\displaystyle DH=2/3\). Másrészről \(\displaystyle S\) pontjai voltak \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle BCC_1B_1\) lapon, tehát ezt a lapot \(\displaystyle FG\) szakaszban metszi \(\displaystyle S\), ugyanígy \(\displaystyle ADD_1A_1\) lapot \(\displaystyle AH\) szakaszban metszi \(\displaystyle S\). Az egyik test tehát az \(\displaystyle ADHFCG\) lesz, melynek \(\displaystyle ADH\) és \(\displaystyle FCG\) lapjai párhuzamosak. Továbbá ezt a testet megkaptuk úgy is, mint az \(\displaystyle ADHE\) tetraédernek az egységkockánkba eső része (azaz a szóban forgó test egy csonkagúla). \(\displaystyle V_{ADHFCG}=V_{ADHE}-V_{FCGE}=\displaystyle{\frac 13 \left(\frac{1\cdot \frac 23}{2}\cdot 2\right)-\frac 13 \left(\frac{\frac 12\cdot \frac 13}{2}\cdot 1\right)=\frac 7{36}}\). Az \(\displaystyle S\) által meghatározott testek térfogata \(\displaystyle \frac 7{36}\) és \(\displaystyle 1-\frac 7{36}=\frac{29}{36}\), ezért a két test térfogatának aránya \(\displaystyle \frac{7}{29}\).


Statistics:

102 students sent a solution.
5 points:Barta Szilveszter Marcell, Bingler Arnold, Fonyó Viktória, Gehér Péter, Heimann Gergő, Jenei Márk, Juhász Bálint, Karádi 468 Dániel Tamás, Károly Péter Balázs, Kasó Márton, Leitereg András, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh Klára Anna, Rácz Viktória, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Schultz Vera Magdolna, Tamás Ádám, Temesvári Fanni, Tóth Balázs, Ványi Richárd Mihály, Végh Dávid András.
4 points:30 students.
3 points:15 students.
2 points:9 students.
1 point:4 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley