Problem C. 1055. (December 2010)

C. 1055. How many eight-digit numbers of the form are there that are divisible by 18 769?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcdabcd}=10\ 001\cdot \overline{abcd}=k\cdot 18\ 769}\) a feltétel szerint. \(\displaystyle 10\ 001=73\cdot 137\) és \(\displaystyle 18\ 769=137^2\) miatt \(\displaystyle \displaystyle{73\cdot \overline{abcd}=k\cdot 137}\)-t vizsgáljuk. \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}}\) osztható 137-tel: \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}=137\cdot l}\) (így \(\displaystyle k=73l\)). \(\displaystyle 1000\le \displaystyle{\overline{abcd}=137\cdot l}\le 9999\) szerint \(\displaystyle 8\le l\le 72\). Ha \(\displaystyle l\) 7 és 73 közötti egész szám, akkor a számolásunk szerint \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}}\) négyjegyű szám, ami osztható 137-tel, továbbá a belőle képzett nyolcjegyű szám a megfelelő alakú, és osztható \(\displaystyle 10\ 001\cdot 137=1\ 370\ 137=73\cdot 18\ 769\)-cel, ami osztható 18 769-cel. Tehát 65 megfelelő számot találtunk.

Statistics:

243 students sent a solution.
5 points:	107 students.
4 points:	69 students.
3 points:	29 students.
2 points:	8 students.
1 point:	4 students.
0 point:	22 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010