Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1055. (December 2010)

C. 1055. How many eight-digit numbers of the form \overline{abcdabcd} are there that are divisible by 18 769?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcdabcd}=10\ 001\cdot \overline{abcd}=k\cdot 18\ 769}\) a feltétel szerint. \(\displaystyle 10\ 001=73\cdot 137\) és \(\displaystyle 18\ 769=137^2\) miatt \(\displaystyle \displaystyle{73\cdot \overline{abcd}=k\cdot 137}\)-t vizsgáljuk. \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}}\) osztható 137-tel: \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}=137\cdot l}\) (így \(\displaystyle k=73l\)). \(\displaystyle 1000\le \displaystyle{\overline{abcd}=137\cdot l}\le 9999\) szerint \(\displaystyle 8\le l\le 72\). Ha \(\displaystyle l\) 7 és 73 közötti egész szám, akkor a számolásunk szerint \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abcd}}\) négyjegyű szám, ami osztható 137-tel, továbbá a belőle képzett nyolcjegyű szám a megfelelő alakú, és osztható \(\displaystyle 10\ 001\cdot 137=1\ 370\ 137=73\cdot 18\ 769\)-cel, ami osztható 18 769-cel. Tehát 65 megfelelő számot találtunk.


243 students sent a solution.
5 points:107 students.
4 points:69 students.
3 points:29 students.
2 points:8 students.
1 point:4 students.
0 point:22 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010