KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1057. Some points in the plane are marked with the colours red, white and green (the national colours of Hungary). No three points are collinear. The number of lines connecting points of different colours is 213, and the number of lines connecting those of the same colour is 112. How many points are marked in the plane?

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

1. megoldás. A megjelölt pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen, ezért - ha összesen \(\displaystyle N\) pontot színeztünk ki - összesen \(\displaystyle N(N+1)/2\) egyenest határoznak meg. Egy egyenes vagy két azonos színű pontot, vagy két különböző színű pontot köt össze, a feladat szerint összesen \(\displaystyle 112+213=325\) összekötő egyenes van. Tehát \(\displaystyle N^2+N-650=0\), melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy \(\displaystyle N>0\), 26 pontot jelöltünk meg.

2. megoldás. A jelölt pontok száma legyen a színek szerint \(\displaystyle p\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle z\), összesen \(\displaystyle p+f+z=N\). A különböző színű pontokra illeszkedő egyenesek száma \(\displaystyle pf+pz+fz=216\), az azonos színűekre illeszkedő \(\displaystyle p(p-1)/2+f(f-1)/2+z(z-1)/2=112\). Ez utóbbi átrendezés után írható úgy is, hogy \(\displaystyle p^2+f^2+z^2-N=224\). Mivel \(\displaystyle N^2=p^2+f^2+z^2+2pf+2pz+2fz\), ezért \(\displaystyle N^2=224+N+2\cdot 213\). Ismét megoldandó az \(\displaystyle N^2+N-650=0\), melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy \(\displaystyle N>0\), 26 pontot jelöltünk meg.


Statistics on problem C. 1057.
238 students sent a solution.
5 points:142 students.
4 points:60 students.
3 points:20 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley