KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1057. (December 2010)

C. 1057. Some points in the plane are marked with the colours red, white and green (the national colours of Hungary). No three points are collinear. The number of lines connecting points of different colours is 213, and the number of lines connecting those of the same colour is 112. How many points are marked in the plane?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A megjelölt pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen, ezért - ha összesen \(\displaystyle N\) pontot színeztünk ki - összesen \(\displaystyle N(N+1)/2\) egyenest határoznak meg. Egy egyenes vagy két azonos színű pontot, vagy két különböző színű pontot köt össze, a feladat szerint összesen \(\displaystyle 112+213=325\) összekötő egyenes van. Tehát \(\displaystyle N^2+N-650=0\), melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy \(\displaystyle N>0\), 26 pontot jelöltünk meg.

2. megoldás. A jelölt pontok száma legyen a színek szerint \(\displaystyle p\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle z\), összesen \(\displaystyle p+f+z=N\). A különböző színű pontokra illeszkedő egyenesek száma \(\displaystyle pf+pz+fz=216\), az azonos színűekre illeszkedő \(\displaystyle p(p-1)/2+f(f-1)/2+z(z-1)/2=112\). Ez utóbbi átrendezés után írható úgy is, hogy \(\displaystyle p^2+f^2+z^2-N=224\). Mivel \(\displaystyle N^2=p^2+f^2+z^2+2pf+2pz+2fz\), ezért \(\displaystyle N^2=224+N+2\cdot 213\). Ismét megoldandó az \(\displaystyle N^2+N-650=0\), melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy \(\displaystyle N>0\), 26 pontot jelöltünk meg.


Statistics:

238 students sent a solution.
5 points:142 students.
4 points:60 students.
3 points:20 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley