Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1057. (December 2010)

C. 1057. Some points in the plane are marked with the colours red, white and green (the national colours of Hungary). No three points are collinear. The number of lines connecting points of different colours is 213, and the number of lines connecting those of the same colour is 112. How many points are marked in the plane?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A megjelölt pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen, ezért - ha összesen \(\displaystyle N\) pontot színeztünk ki - összesen \(\displaystyle N(N+1)/2\) egyenest határoznak meg. Egy egyenes vagy két azonos színű pontot, vagy két különböző színű pontot köt össze, a feladat szerint összesen \(\displaystyle 112+213=325\) összekötő egyenes van. Tehát \(\displaystyle N^2+N-650=0\), melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy \(\displaystyle N>0\), 26 pontot jelöltünk meg.

2. megoldás. A jelölt pontok száma legyen a színek szerint \(\displaystyle p\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle z\), összesen \(\displaystyle p+f+z=N\). A különböző színű pontokra illeszkedő egyenesek száma \(\displaystyle pf+pz+fz=216\), az azonos színűekre illeszkedő \(\displaystyle p(p-1)/2+f(f-1)/2+z(z-1)/2=112\). Ez utóbbi átrendezés után írható úgy is, hogy \(\displaystyle p^2+f^2+z^2-N=224\). Mivel \(\displaystyle N^2=p^2+f^2+z^2+2pf+2pz+2fz\), ezért \(\displaystyle N^2=224+N+2\cdot 213\). Ismét megoldandó az \(\displaystyle N^2+N-650=0\), melynek gyökei a -25 és a 26. Tekintve, hogy \(\displaystyle N>0\), 26 pontot jelöltünk meg.


Statistics:

238 students sent a solution.
5 points:142 students.
4 points:60 students.
3 points:20 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010