KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1058. Two vertices of a triangle are fixed, and the third vertex is moving along a curve such that the sum of the squares of the sides equals 8 times the area of the triangle. What curve is it?

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Helyezzük el egy derékszögű koordinátarendszerbe a háromszöget úgy, hogy rögzített \(\displaystyle A\) csúcsa az origó, rögzített \(\displaystyle B\) csúcsa az \(\displaystyle x\)-tengelyen \(\displaystyle (c,0)\) pontban legyen. A keresett \(\displaystyle c\) csúcs koordinátái \(\displaystyle (x, y)\). A koordinátákkal felírjuk az oldalak négyzetösszegét: \(\displaystyle (x^2+y^2)+((c-x)^2+y^2)+c^2\). Az \(\displaystyle AB\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle y\), ezért a háromszög területe \(\displaystyle \frac 12 cy\). A feladat szerint \(\displaystyle (x^2+y^2)+((c-x)^2+y^2)+c^2=\frac 82 cy\), amit rendezve \(\displaystyle x^2+y^2+c^2-cx-2cy=0\)-t kapunk. Ez egy kör egyenlete, mert felírható \(\displaystyle (x-\frac c2)^2+(y-c)^2=\frac{c^2}{4}\) alakba, ami egy \(\displaystyle O(\frac c2 , c)\) középpontú, \(\displaystyle \frac c2\) sugarú kör egyenlete. Tehát ha a feladat feltételeit teljesíti az \(\displaystyle ABC\triangle\), akkor \(\displaystyle C\) csúcs biztosan ezen a körön van. Másrészről a kör minden pontja lehet a háromszög harmadik csúcsa mert teljesíti a feladat kritériumát a számolás szerint, és a kör nem teszti az \(\displaystyle x\)-tengelyt, tehát a kör bármely pontja, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) biztosan háromszöget alkotnak.


Statistics on problem C. 1058.
105 students sent a solution.
5 points:Balázsi Tamás, Bánhegyi Eliza, Böröczky Dezső, Csordás Gábor, Fonyó Viktória, Gehér Péter, Gyurcsik Dóra, Heimann Gergő, Jéhn Zoltán, Kasó Márton, Kelemen Bendegúz, Leitereg András, Márki Gabriella, Martinka Mátyás, Medveczky Zsófia, Nagy Zsuzsika, Nánási József, Németh Klára Anna, Papp Géza, Pataki Bálint Ármin, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Szabó 928 Attila, Tamás Ádám, Temesvári Fanni, Trócsányi Péter, Varga 149 Imre Károly, Végh Dávid András.
4 points:45 students.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
1 point:12 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley