Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1058. (December 2010)

C. 1058. Two vertices of a triangle are fixed, and the third vertex is moving along a curve such that the sum of the squares of the sides equals 8 times the area of the triangle. What curve is it?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Helyezzük el egy derékszögű koordinátarendszerbe a háromszöget úgy, hogy rögzített \(\displaystyle A\) csúcsa az origó, rögzített \(\displaystyle B\) csúcsa az \(\displaystyle x\)-tengelyen \(\displaystyle (c,0)\) pontban legyen. A keresett \(\displaystyle c\) csúcs koordinátái \(\displaystyle (x, y)\). A koordinátákkal felírjuk az oldalak négyzetösszegét: \(\displaystyle (x^2+y^2)+((c-x)^2+y^2)+c^2\). Az \(\displaystyle AB\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle y\), ezért a háromszög területe \(\displaystyle \frac 12 cy\). A feladat szerint \(\displaystyle (x^2+y^2)+((c-x)^2+y^2)+c^2=\frac 82 cy\), amit rendezve \(\displaystyle x^2+y^2+c^2-cx-2cy=0\)-t kapunk. Ez egy kör egyenlete, mert felírható \(\displaystyle (x-\frac c2)^2+(y-c)^2=\frac{c^2}{4}\) alakba, ami egy \(\displaystyle O(\frac c2 , c)\) középpontú, \(\displaystyle \frac c2\) sugarú kör egyenlete. Tehát ha a feladat feltételeit teljesíti az \(\displaystyle ABC\triangle\), akkor \(\displaystyle C\) csúcs biztosan ezen a körön van. Másrészről a kör minden pontja lehet a háromszög harmadik csúcsa mert teljesíti a feladat kritériumát a számolás szerint, és a kör nem teszti az \(\displaystyle x\)-tengelyt, tehát a kör bármely pontja, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) biztosan háromszöget alkotnak.


Statistics:

105 students sent a solution.
5 points:Balázsi Tamás, Bánhegyi Eliza, Böröczky Dezső, Csordás Gábor, Fonyó Viktória, Gehér Péter, Gyurcsik Dóra, Heimann Gergő, Jéhn Zoltán, Kasó Márton, Kelemen Bendegúz, Leitereg András, Márki Gabriella, Martinka Mátyás, Medveczky Zsófia, Nagy Zsuzsika, Nánási József, Németh Klára Anna, Papp Géza, Pataki Bálint Ármin, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Szabó 928 Attila, Tamás Ádám, Temesvári Fanni, Trócsányi Péter, Varga 149 Imre Károly, Végh Dávid András.
4 points:45 students.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
1 point:12 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010