Problem C. 1061. (January 2011)

C. 1061. Construct the triangle ABC out of the following parts given: the midpoint of side AB, the foot of the altitude drawn to side AC, and the angle $\alpha$ lying at vertex A.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az adott felezőpontot jelöljük $\displaystyle F$-fel, a magasság talppontját pedig $\displaystyle T$-vel. $\displaystyle ABT$ derékszögű háromszög, melynek $\displaystyle AB$ az átfogója, köré írt körének középpontja pedig $\displaystyle F$ Thalesz tételének megfordítása értelmében. Tehát $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ csúcs rajta lesz az $\displaystyle F$ középpontú, $\displaystyle TF$ sugarú $\displaystyle t$ körön. Mivel $\displaystyle AFT$ háromszög egyenlőszárú, ezért $\displaystyle AFT\angle=|180^\circ-2\alpha|=\varphi$. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle T$ az $\displaystyle AC$ egyenesén lehet $\displaystyle F$ pedig $\displaystyle AB$ belsejében, ezért semmiképpen sem eshetnek egybe. Tehát a feladat feltételeinek megfeleő háromszög mindig szerkeszthető, ha az adott pontok nem esnek egybe. Ha $\displaystyle \alpha =90^\circ$, akkor $\displaystyle ABC\triangle$ és $\displaystyle A\equiv T$.

Szerkesztés menete:

1. Rajzoljuk meg az $\displaystyle F$ középpontú, $\displaystyle FT$ sugarú kört ($\displaystyle t$).

2. Szerkesszük meg $\displaystyle \alpha$ felhasználásával $\displaystyle \varphi=|180^\circ-2\alpha|$-t.

3. $\displaystyle FT$ szakaszra mérjük fel az $\displaystyle F$ csúcsú $\displaystyle \varphi$ szöget.

4. A (nem $\displaystyle FT$) szögszár egyenese két pontban metszi $\displaystyle t$-t: $\displaystyle A$-ban és $\displaystyle B$-ben. A szögszárra illeszkedik $\displaystyle A$, a meghosszabbítására $\displaystyle B$.

5. $\displaystyle AT$ egyenesén van $\displaystyle C$ csúcs. Az egyenes bármely pontját választhatjuk, kivéve $\displaystyle A$-t.

Statistics:

144 students sent a solution.

5 points: Almási Péter, Antal Dóra, Antal Viktória, Balázsi Tamás, Bencze Tamás, Drávay Zorka, Érsek Laura, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Hajnal Ádám, Kószó 94 Eszter, Körmöczi Márk, Leitereg András, Molnár Bertalan, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh 412 Virág, Németh Klára Anna, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Sárvári Mátyás, Szentes Ákos, Szigeti Bertalan György, Tamás Ádám, Ujhelyi Viktor, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás, Virágh Eszter.

4 points: 77 students.

3 points: 2 students.

2 points: 8 students.

1 point: 8 students.

0 point: 12 students.

Unfair, not evaluated: 7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

144 students sent a solution.
5 points:	Almási Péter, Antal Dóra, Antal Viktória, Balázsi Tamás, Bencze Tamás, Drávay Zorka, Érsek Laura, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Hajnal Ádám, Kószó 94 Eszter, Körmöczi Márk, Leitereg András, Molnár Bertalan, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh 412 Virág, Németh Klára Anna, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Sárvári Mátyás, Szentes Ákos, Szigeti Bertalan György, Tamás Ádám, Ujhelyi Viktor, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás, Virágh Eszter.
4 points:	77 students.
3 points:	2 students.
2 points:	8 students.
1 point:	8 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?