KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1061. Construct the triangle ABC out of the following parts given: the midpoint of side AB, the foot of the altitude drawn to side AC, and the angle \alpha lying at vertex A.

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az adott felezőpontot jelöljük \(\displaystyle F\)-fel, a magasság talppontját pedig \(\displaystyle T\)-vel. \(\displaystyle ABT\) derékszögű háromszög, melynek \(\displaystyle AB\) az átfogója, köré írt körének középpontja pedig \(\displaystyle F\) Thalesz tételének megfordítása értelmében. Tehát \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcs rajta lesz az \(\displaystyle F\) középpontú, \(\displaystyle TF\) sugarú \(\displaystyle t\) körön. Mivel \(\displaystyle AFT\) háromszög egyenlőszárú, ezért \(\displaystyle AFT\angle=|180^\circ-2\alpha|=\varphi\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle AC\) egyenesén lehet \(\displaystyle F\) pedig \(\displaystyle AB\) belsejében, ezért semmiképpen sem eshetnek egybe. Tehát a feladat feltételeinek megfeleő háromszög mindig szerkeszthető, ha az adott pontok nem esnek egybe. Ha \(\displaystyle \alpha =90^\circ\), akkor \(\displaystyle ABC\triangle\) és \(\displaystyle A\equiv T\).

Szerkesztés menete:

1. Rajzoljuk meg az \(\displaystyle F\) középpontú, \(\displaystyle FT\) sugarú kört (\(\displaystyle t\)).

2. Szerkesszük meg \(\displaystyle \alpha\) felhasználásával \(\displaystyle \varphi=|180^\circ-2\alpha|\)-t.

3. \(\displaystyle FT\) szakaszra mérjük fel az \(\displaystyle F\) csúcsú \(\displaystyle \varphi\) szöget.

4. A (nem \(\displaystyle FT\)) szögszár egyenese két pontban metszi \(\displaystyle t\)-t: \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle B\)-ben. A szögszárra illeszkedik \(\displaystyle A\), a meghosszabbítására \(\displaystyle B\).

5. \(\displaystyle AT\) egyenesén van \(\displaystyle C\) csúcs. Az egyenes bármely pontját választhatjuk, kivéve \(\displaystyle A\)-t.


Statistics on problem C. 1061.
144 students sent a solution.
5 points:Almási Péter, Antal Dóra, Antal Viktória, Balázsi Tamás, Bencze Tamás, Drávay Zorka, Érsek Laura, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Hajnal Ádám, Kószó 94 Eszter, Körmöczi Márk, Leitereg András, Molnár Bertalan, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh 412 Virág, Németh Klára Anna, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Sárvári Mátyás, Szentes Ákos, Szigeti Bertalan György, Tamás Ádám, Ujhelyi Viktor, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás, Virágh Eszter.
4 points:77 students.
3 points:2 students.
2 points:8 students.
1 point:8 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley