A C. 1061. feladat (2011. január)

C. 1061. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB oldalának felezőpontja, az AC oldalhoz tartozó magasság talppontja és az A csúcsnál levő $\alpha$ szöge.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az adott felezőpontot jelöljük $\displaystyle F$-fel, a magasság talppontját pedig $\displaystyle T$-vel. $\displaystyle ABT$ derékszögű háromszög, melynek $\displaystyle AB$ az átfogója, köré írt körének középpontja pedig $\displaystyle F$ Thalesz tételének megfordítása értelmében. Tehát $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ csúcs rajta lesz az $\displaystyle F$ középpontú, $\displaystyle TF$ sugarú $\displaystyle t$ körön. Mivel $\displaystyle AFT$ háromszög egyenlőszárú, ezért $\displaystyle AFT\angle=|180^\circ-2\alpha|=\varphi$. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle T$ az $\displaystyle AC$ egyenesén lehet $\displaystyle F$ pedig $\displaystyle AB$ belsejében, ezért semmiképpen sem eshetnek egybe. Tehát a feladat feltételeinek megfeleő háromszög mindig szerkeszthető, ha az adott pontok nem esnek egybe. Ha $\displaystyle \alpha =90^\circ$, akkor $\displaystyle ABC\triangle$ és $\displaystyle A\equiv T$.

Szerkesztés menete:

1. Rajzoljuk meg az $\displaystyle F$ középpontú, $\displaystyle FT$ sugarú kört ($\displaystyle t$).

2. Szerkesszük meg $\displaystyle \alpha$ felhasználásával $\displaystyle \varphi=|180^\circ-2\alpha|$-t.

3. $\displaystyle FT$ szakaszra mérjük fel az $\displaystyle F$ csúcsú $\displaystyle \varphi$ szöget.

4. A (nem $\displaystyle FT$) szögszár egyenese két pontban metszi $\displaystyle t$-t: $\displaystyle A$-ban és $\displaystyle B$-ben. A szögszárra illeszkedik $\displaystyle A$, a meghosszabbítására $\displaystyle B$.

5. $\displaystyle AT$ egyenesén van $\displaystyle C$ csúcs. Az egyenes bármely pontját választhatjuk, kivéve $\displaystyle A$-t.

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Almási Péter, Antal Dóra, Antal Viktória, Balázsi Tamás, Bencze Tamás, Drávay Zorka, Érsek Laura, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Hajnal Ádám, Kószó 94 Eszter, Körmöczi Márk, Leitereg András, Molnár Bertalan, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh 412 Virág, Németh Klára Anna, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Sárvári Mátyás, Szentes Ákos, Szigeti Bertalan György, Tamás Ádám, Ujhelyi Viktor, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás, Virágh Eszter.

4 pontot kapott: 77 versenyző.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 8 versenyző.

0 pontot kapott: 12 versenyző.

Nem versenyszerű: 7 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai

144 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Almási Péter, Antal Dóra, Antal Viktória, Balázsi Tamás, Bencze Tamás, Drávay Zorka, Érsek Laura, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Hajnal Ádám, Kószó 94 Eszter, Körmöczi Márk, Leitereg András, Molnár Bertalan, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh 412 Virág, Németh Klára Anna, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Sárvári Mátyás, Szentes Ákos, Szigeti Bertalan György, Tamás Ádám, Ujhelyi Viktor, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás, Virágh Eszter.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?