Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1066. (February 2011)

C. 1066. The measures of four interior angles of a pentagon are 120o. The lengths of the four consecutive sides opposite to these angles are 2, 8, 5, 5, in this order. How long is the fifth side?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ötszög \(\displaystyle 120^\circ\)-os szögeinek külső szöge \(\displaystyle 60^\circ\). Az ötszög ötödik belső szöge \(\displaystyle 3\cdot 180^\circ - 4\cdot 120^\circ = 60^\circ\). Az ötszög ezen szöghöz tartozó csúcsa legyen \(\displaystyle A\) (a többi sorban \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\)). Az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle EA\) egyenesek meghatározzák az \(\displaystyle AFG\) szabályos háromszöget, mert \(\displaystyle BFC\) és \(\displaystyle DGE\) háromszögek szabályosak. Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy az egymáshoz csatlakozó négy oldal, melyek \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) oldalakkal szemközt vannak \(\displaystyle DE=2\), \(\displaystyle EA=8\), \(\displaystyle AB=5\) és \(\displaystyle BC=5\). Ekkor \(\displaystyle DG=GE=2\) és \(\displaystyle BF=FC=5\), továbbá \(\displaystyle BC=a\) jelöléssel \(\displaystyle AF=AG=10=FG=7+a\), ahonnan \(\displaystyle a=3\). A 2, 8, 5, 5 hosszú oldalak más elrendezése nem lehetséges, mert különben \(\displaystyle AF\ne AG\). Az ötszög ötödik oldala 3 egység hosszú.


Statistics:

177 students sent a solution.
5 points:90 students.
4 points:48 students.
3 points:8 students.
2 points:8 students.
1 point:7 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011