 |
A C. 1066. feladat (2011. február) |
C. 1066. Egy ötszög négy belső szöge 120o-os. Az ezekkel a szögekkel szemközti, egymáshoz csatlakozó négy oldal hossza sorban: 2, 8, 5, 5. Milyen hosszú az ötödik oldal?
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ötszög \(\displaystyle 120^\circ\)-os szögeinek külső szöge \(\displaystyle 60^\circ\). Az ötszög ötödik belső szöge \(\displaystyle 3\cdot 180^\circ - 4\cdot 120^\circ = 60^\circ\). Az ötszög ezen szöghöz tartozó csúcsa legyen \(\displaystyle A\) (a többi sorban \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\)). Az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle EA\) egyenesek meghatározzák az \(\displaystyle AFG\) szabályos háromszöget, mert \(\displaystyle BFC\) és \(\displaystyle DGE\) háromszögek szabályosak. Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy az egymáshoz csatlakozó négy oldal, melyek \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) oldalakkal szemközt vannak \(\displaystyle DE=2\), \(\displaystyle EA=8\), \(\displaystyle AB=5\) és \(\displaystyle BC=5\). Ekkor \(\displaystyle DG=GE=2\) és \(\displaystyle BF=FC=5\), továbbá \(\displaystyle BC=a\) jelöléssel \(\displaystyle AF=AG=10=FG=7+a\), ahonnan \(\displaystyle a=3\). A 2, 8, 5, 5 hosszú oldalak más elrendezése nem lehetséges, mert különben \(\displaystyle AF\ne AG\). Az ötszög ötödik oldala 3 egység hosszú.
Statisztika:
177 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 90 versenyző. 4 pontot kapott: 48 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. februári matematika feladatai