KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1067. (February 2011)

C. 1067. Solve the following simultaneous equations on the set of real numbers: |x-1|+|x+y|=6, |y-1|+|x+y+1|=4.

(5 pont)

Deadline expired on 10 March 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bontsuk fel az abszolút értékeket a változók lehetséges értékei mellett. Megjegyezzük, hogy ha \(\displaystyle x+y\le 0\), akkor \(\displaystyle x+y+1>0\), továbbá, ha \(\displaystyle x, \ y\ge 1\), akkor \(\displaystyle x+y>0\). Ezért a különböző felbontások szerint 10 esetünk lesz. A táblázatunkban ++, -+, -- jelölje az előjeleit az \(\displaystyle x+y\), \(\displaystyle x+y+1\) kifejezéseknek (ebben a sorrendben). Az egyenletrendszer megoldása után ellenőrizzük \(\displaystyle x+y\) és \(\displaystyle x+y+1\) előjelét.

\(\displaystyle x\ge 1\) \(\displaystyle x<1\)
++ \(\displaystyle 2x+y=7\), \(\displaystyle x+2y=4\): \(\displaystyle x=10/3\), \(\displaystyle y=1/3\)(!) \(\displaystyle 1-x+x+y=5\): \(\displaystyle y=5\), \(\displaystyle x+2y=4\): \(\displaystyle x=-6\)(!)
\(\displaystyle y\ge 1\) -+ \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle x+2y=4\):\(\displaystyle x=-14/3\), \(\displaystyle y=13/3\)
-- \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle y-1-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=-6\), \(\displaystyle y=7\)(!)
++ \(\displaystyle 2x+y=7\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=3\)(!) \(\displaystyle 1-x+x+y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\)(!), \(\displaystyle y=5\)(!)
\(\displaystyle y< 1\) -+ \(\displaystyle x-1-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=-7\)(!) \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\)(!)
-- \(\displaystyle x-1-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=10\), \(\displaystyle y=-7\)(!) \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=-2\), \(\displaystyle y=-1\)

Két megoldása van az egyenletrendszernek: \(\displaystyle x_1=-\frac{14}3,\ y_1=\frac{13}3\) és \(\displaystyle x_2=-2,\ y_2=-1\).


Statistics:

104 students sent a solution.
5 points:53 students.
4 points:3 students.
3 points:17 students.
2 points:12 students.
1 point:11 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley