KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A C. 1067. feladat (2011. február)

C. 1067. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

|x-1|+|x+y|=6,

|y-1|+|x+y+1|=4.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Bontsuk fel az abszolút értékeket a változók lehetséges értékei mellett. Megjegyezzük, hogy ha \(\displaystyle x+y\le 0\), akkor \(\displaystyle x+y+1>0\), továbbá, ha \(\displaystyle x, \ y\ge 1\), akkor \(\displaystyle x+y>0\). Ezért a különböző felbontások szerint 10 esetünk lesz. A táblázatunkban ++, -+, -- jelölje az előjeleit az \(\displaystyle x+y\), \(\displaystyle x+y+1\) kifejezéseknek (ebben a sorrendben). Az egyenletrendszer megoldása után ellenőrizzük \(\displaystyle x+y\) és \(\displaystyle x+y+1\) előjelét.

\(\displaystyle x\ge 1\) \(\displaystyle x<1\)
++ \(\displaystyle 2x+y=7\), \(\displaystyle x+2y=4\): \(\displaystyle x=10/3\), \(\displaystyle y=1/3\)(!) \(\displaystyle 1-x+x+y=5\): \(\displaystyle y=5\), \(\displaystyle x+2y=4\): \(\displaystyle x=-6\)(!)
\(\displaystyle y\ge 1\) -+ \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle x+2y=4\):\(\displaystyle x=-14/3\), \(\displaystyle y=13/3\)
-- \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle y-1-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=-6\), \(\displaystyle y=7\)(!)
++ \(\displaystyle 2x+y=7\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=3\)(!) \(\displaystyle 1-x+x+y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\)(!), \(\displaystyle y=5\)(!)
\(\displaystyle y< 1\) -+ \(\displaystyle x-1-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=-7\)(!) \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\)(!)
-- \(\displaystyle x-1-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=10\), \(\displaystyle y=-7\)(!) \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=-2\), \(\displaystyle y=-1\)

Két megoldása van az egyenletrendszernek: \(\displaystyle x_1=-\frac{14}3,\ y_1=\frac{13}3\) és \(\displaystyle x_2=-2,\ y_2=-1\).


Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:53 versenyző.
4 pontot kapott:3 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley