KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1068. A target consists of 18 fields bounded by three concentric circles and three line segments through the centre, as shown in the figure. The areas of the fields marked with the same number are equal, and the area of number 2 is half that of number 3. By what factor is number 4 greater in area than number 1?

(5 points)

Deadline expired on 10 March 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A körök sugara legyen \(\displaystyle \varrho < r < R\) az 1. körcikk szöge (ívmértékben) \(\displaystyle \alpha\). A területek: \(\displaystyle t_1=1/2\alpha\varrho^2\), \(\displaystyle t_2=1/2(\pi - 2\alpha)\varrho^2=1/2\alpha(r^2 - \varrho^2)\), \(\displaystyle t_3=1/2 \alpha(R^2-r^2)=1/2(\pi - 2\alpha)(r^2 - \varrho^2)\), ahonnan \(\displaystyle R^2=\frac{\pi - 2\alpha}{\alpha}(r^2-\varrho^2)+r^2=\). Mivel \(\displaystyle 2t_2=t_3\), ezért -a középső körgyűrűbeli részek összehasonlításából- \(\displaystyle \pi -2\alpha=\alpha\) (azaz \(\displaystyle \alpha=\frac\pi3\)). Végül \(\displaystyle t_4=1/2(\pi - 2\alpha)(R^2-r^2)= 1/2\frac{(\pi - 2\alpha)^2}{\alpha}(r^2 - \varrho^2)=1/2\frac{(\pi - 2\alpha)^3}{\alpha^2}\varrho^2=1/2\frac{8\alpha^3}{\alpha^3}\alpha \varrho^2=8t_1\). A 4-es mező területe nyolcszorosa az 1-es mező területének.


Statistics on problem C. 1068.
191 students sent a solution.
5 points:103 students.
4 points:36 students.
3 points:26 students.
2 points:14 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley