A C. 1068. feladat

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1068. Egy céltábla 18 mezőjét három koncentrikus kör és a középponton átmenő három szakasz határolja az ábra szerint. Az azonos számmal jelölt mezők területe megegyezik, a 2-es területe fele a 3-asnak. Hányszorosa a 4-es mező területe az 1-esnek?

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

A körök sugara legyen $\varrho$ <r<R az 1. körcikk szöge (ívmértékben) $\alpha$ . A területek: t₁=1/2 $\alpha$ $\varrho$ ², t₂=1/2( $\pi$ -2 $\alpha$ ) $\varrho$ ²=1/2 $\alpha$ (r²- $\varrho$ ²), t₃=1/2 $\alpha$ (R²-r²)=1/2( $\pi$ -2 $\alpha$ )(r²- $\varrho$ ²), ahonnan $R^2=\frac{\pi - 2\alpha}{\alpha}(r^2-\varrho^2)+r^2=$ . Mivel 2t₂=t₃, ezért -a középső körgyűrűbeli részek összehasonlításából- $\pi$ -2 $\alpha$ = $\alpha$ (azaz $\alpha=\frac\pi3$ ). Végül $t_4=1/2(\pi - 2\alpha)(R^2-r^2)= 1/2\frac{(\pi - 2\alpha)^2}{\alpha}(r^2 - \varrho^2)=1/2\frac{(\pi - 2\alpha)^3}{\alpha^2}\varrho^2=1/2\frac{8\alpha^3}{\alpha^3}\alpha \varrho^2=8t_1$ . A 4-es mező területe nyolcszorosa az 1-es mező területének.

A C. 1068. feladat statisztikája

191 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 103 versenyző.

4 pontot kapott: 36 versenyző.

3 pontot kapott: 26 versenyző.

2 pontot kapott: 14 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 4 dolgozat.

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai

Támogatóink:

ELTE