Problem C. 1070. (March 2011)
C. 1070. In base-n notation, a number has the form 2011, and in base-(n+3) notation it is 537. Which number is it?
(5 pont)
Deadline expired on April 11, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A keresett szám \(\displaystyle N=2011_n=537_{n+3}\), amiből következik, hogy \(\displaystyle n+3\ge 8\), azaz \(\displaystyle n\ge 5\). A számrendszerekben felírt alakokból \(\displaystyle N\) értéke \(\displaystyle 2n^3+n+1=5(n+3)^2+3(n+3)+7\), amit átrendezve kapjuk a \(\displaystyle 2n^3-5n^2-32n-60=0\) (1.) egyenletet. Az biztos, hogy \(\displaystyle n\) páros, mert \(\displaystyle 5n^2=2(n^3-16n-30)\) egyenletben a jobb oldal osztható 2-vel, ezért a balnak is oszthatónak kell lennie. Másrészről, ha \(\displaystyle \alpha\) pozitív egész megoldása az (1.) egyenletnek, akkor a bal oldal szorzattá bontható: \(\displaystyle (n-\alpha)(2n^2+\beta n-\frac{60}{\alpha})\), tehát biztos, hogy \(\displaystyle \alpha\) osztója 60-nak. (1.) megoldása(i) csak a 6, 10, 12, 20, 30, 60 közül kerülhet ki. Másrészről \(\displaystyle 2n^3<N<6(n+3)^2\), azaz \(\displaystyle n^3<3n^2+18n+27\). Ha \(\displaystyle n\ge 6\), akkor \(\displaystyle 3n^2+18n+27<7n^2\) teljesül (ugyanis \(\displaystyle 18n+27=3\cdot 6n+27<3n^2+n^2=4n^2\), ha \(\displaystyle n\ge 6\)), ami szerint \(\displaystyle n<7\). A feltételeket egybevéve \(\displaystyle n=6\) maradt, mint lehetséges megoldás. Az (1.) egyenletbe helyettesítve valóban egyenlőséget kapunk, ezért az \(\displaystyle N\) számot 6-os, majd 9-es alapú számrendszerben írtuk fel: \(\displaystyle N=5\cdot 81+3\cdot 9+7=2\cdot 216+6+1=\mathbf{439}\).
Statistics:
190 students sent a solution. 5 points: 107 students. 4 points: 24 students. 3 points: 44 students. 2 points: 7 students. 1 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011