KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

C. 1070. Egy szám n alapú számrendszerben felírt alakja 2011, az (n+3) alapú számrendszerben pedig 537. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.


A keresett szám N=2011n=537n+3, amiből következik, hogy n+3\ge8, azaz n\ge5. A számrendszerekben felírt alakokból N értéke 2n3+n+1=5(n+3)2+3(n+3)+7, amit átrendezve kapjuk a 2n3-5n2-32n-60=0 (1.) egyenletet. Az biztos, hogy n páros, mert 5n2=2(n3-16n-30) egyenletben a jobb oldal osztható 2-vel, ezért a balnak is oszthatónak kell lennie. Másrészről, ha \alpha pozitív egész megoldása az (1.) egyenletnek, akkor a bal oldal szorzattá bontható: (n-\alpha)(2n^2+\beta n-\frac{60}{\alpha}), tehát biztos, hogy \alpha osztója 60-nak. (1.) megoldása(i) csak a 6, 10, 12, 20, 30, 60 közül kerülhet ki. Másrészről 2n3<N<6(n+3)2, azaz n3<3n2+18n+27. Ha n\ge6, akkor 3n2+18n+27<7n2 teljesül (ugyanis 18n+27=3.6n+27<3n2+n2=4n2, ha n\ge6), ami szerint n<7. A feltételeket egybevéve n=6 maradt, mint lehetséges megoldás. Az (1.) egyenletbe helyettesítve valóban egyenlőséget kapunk, ezért az N számot 6-os, majd 9-es alapú számrendszerben írtuk fel: N=5\cdot 81+3\cdot 9+7=2\cdot 216+6+1=\mathbf{439}.


A C. 1070. feladat statisztikája
190 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:107 versenyző.
4 pontot kapott:24 versenyző.
3 pontot kapott:44 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.


  • A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap