C. 1070. Egy szám n alapú számrendszerben felírt alakja 2011, az (n+3) alapú számrendszerben pedig 537. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

A keresett szám N=2011_n=537_n+3, amiből következik, hogy n+38, azaz n5. A számrendszerekben felírt alakokból N értéke 2n³+n+1=5(n+3)²+3(n+3)+7, amit átrendezve kapjuk a 2n³-5n²-32n-60=0 (1.) egyenletet. Az biztos, hogy n páros, mert 5n²=2(n³-16n-30) egyenletben a jobb oldal osztható 2-vel, ezért a balnak is oszthatónak kell lennie. Másrészről, ha pozitív egész megoldása az (1.) egyenletnek, akkor a bal oldal szorzattá bontható: , tehát biztos, hogy osztója 60-nak. (1.) megoldása(i) csak a 6, 10, 12, 20, 30, 60 közül kerülhet ki. Másrészről 2n³<N<6(n+3)², azaz n³<3n²+18n+27. Ha n6, akkor 3n²+18n+27<7n² teljesül (ugyanis 18n+27=3^.6n+27<3n²+n²=4n², ha n6), ami szerint n<7. A feltételeket egybevéve n=6 maradt, mint lehetséges megoldás. Az (1.) egyenletbe helyettesítve valóban egyenlőséget kapunk, ezért az N számot 6-os, majd 9-es alapú számrendszerben írtuk fel: .

A C. 1070. feladat statisztikája 190 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 107 versenyző. 4 pontot kapott: 24 versenyző. 3 pontot kapott: 44 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.