KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1070. Egy szám n alapú számrendszerben felírt alakja 2011, az (n+3) alapú számrendszerben pedig 537. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás. A keresett szám &tex;\displaystyle N=2011_n=537_{n+3}&xet;, amiből következik, hogy &tex;\displaystyle n+3\ge 8&xet;, azaz &tex;\displaystyle n\ge 5&xet;. A számrendszerekben felírt alakokból &tex;\displaystyle N&xet; értéke &tex;\displaystyle 2n^3+n+1=5(n+3)^2+3(n+3)+7&xet;, amit átrendezve kapjuk a &tex;\displaystyle 2n^3-5n^2-32n-60=0&xet; (1.) egyenletet. Az biztos, hogy &tex;\displaystyle n&xet; páros, mert &tex;\displaystyle 5n^2=2(n^3-16n-30)&xet; egyenletben a jobb oldal osztható 2-vel, ezért a balnak is oszthatónak kell lennie. Másrészről, ha &tex;\displaystyle \alpha&xet; pozitív egész megoldása az (1.) egyenletnek, akkor a bal oldal szorzattá bontható: &tex;\displaystyle (n-\alpha)(2n^2+\beta n-\frac{60}{\alpha})&xet;, tehát biztos, hogy &tex;\displaystyle \alpha&xet; osztója 60-nak. (1.) megoldása(i) csak a 6, 10, 12, 20, 30, 60 közül kerülhet ki. Másrészről &tex;\displaystyle 2n^3<N<6(n+3)^2&xet;, azaz &tex;\displaystyle n^3<3n^2+18n+27&xet;. Ha &tex;\displaystyle n\ge 6&xet;, akkor &tex;\displaystyle 3n^2+18n+27<7n^2&xet; teljesül (ugyanis &tex;\displaystyle 18n+27=3\cdot 6n+27<3n^2+n^2=4n^2&xet;, ha &tex;\displaystyle n\ge 6&xet;), ami szerint &tex;\displaystyle n<7&xet;. A feltételeket egybevéve &tex;\displaystyle n=6&xet; maradt, mint lehetséges megoldás. Az (1.) egyenletbe helyettesítve valóban egyenlőséget kapunk, ezért az &tex;\displaystyle N&xet; számot 6-os, majd 9-es alapú számrendszerben írtuk fel: &tex;\displaystyle N=5\cdot 81+3\cdot 9+7=2\cdot 216+6+1=\mathbf{439}&xet;.


A C. 1070. feladat statisztikája
190 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:107 versenyz .
4 pontot kapott:24 versenyz .
3 pontot kapott:44 versenyz .
2 pontot kapott:7 versenyz .
1 pontot kapott:5 versenyz .
Nem versenyszer :3 dolgozat.


  • A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap