KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1072. Prove that the radius of the inscribed circle of a right-angled triangle is smaller than three tenths of the longer leg.

(5 points)

Deadline expired on 11 April 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

A derékszögű háromszög oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\le b<c\), a beírt kör sugara pedig \(\displaystyle r\). Ismert az összefüggés közöttük: \(\displaystyle a+b=c+2r\).

1. megoldás Tegyük fel, hogy \(\displaystyle r\ge\frac3{10}b\). Ekkor \(\displaystyle \frac{a+b-c}2\ge\frac3{10}b\), azaz \(\displaystyle a+\frac25 b \ge c\), ahonnan (tekintve, hogy poziív kifejezésekről van szó) \(\displaystyle a^2+\frac45 ab + \frac4{25}b^2 \ge c^2=a^2+b^2\). Innen (\(\displaystyle b\ne 0\)) \(\displaystyle a\ge\frac{21}{20}b>b\), ami ellentmond feltételünklnek, azaz \(\displaystyle r<\frac3{10}b\).

2. megoldás \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}2=\frac{a+b}2-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2=\frac{a+b}2-\frac1{\sqrt2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\). Használjuk két nemnegatív szám számtani és négyzetes közepe közötti egyenlőtlenséget: \(\displaystyle r\le \frac{a+b}2-\frac1{\sqrt2}\frac{a+b}2\le b\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)<\frac3{10}b\).


Statistics on problem C. 1072.
124 students sent a solution.
5 points:64 students.
4 points:21 students.
3 points:26 students.
2 points:6 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley