Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1074. (March 2011)

C. 1074. Find the distance between edge AB of a unit cube and diagonal EC of the cube (see the figure).

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Két kitérő egyenes távolsága nem más, mint a rájuk illeszkedő, egymással párhuzamos síkok távolsága. Ezt megkaphatjuk úgy, hogy az egyik síkra állítunk egy merőleges síkot, hogy a metszésvonaluk az adott egyenes legyen. Ez a merőleges sík a másik egyenest metszi (mert nem lehet párhuzamos vele). A metszésponton átmenő, az első egyenesre merőleges egyenes mindkét egyenesre és mindkét - a rájuk fektetett, egymással párhuzamos - síkra is merőleges: a metszéspontok által meghatározott szakasz hossza lesz a két egyenes távolsága.

Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle AB\) él \(\displaystyle M\) felezőpontja és a \(\displaystyle CE\) testátló \(\displaystyle N\) felezőpontja által meghatározott szakasz merőleges mind \(\displaystyle AB\)-re, mind \(\displaystyle CE\)-re, ezért ezen szakasz hossza lesz a keresett távolság. \(\displaystyle N\) a kocka középpontja, \(\displaystyle M\) tükörképe \(\displaystyle N\)-re pont a \(\displaystyle GH\) él felezőpontja, \(\displaystyle M'\). Mivel \(\displaystyle MM'GB\) paralelogramma (\(\displaystyle MB\) párhuzamos és egyenlő hosszú \(\displaystyle M'G\)-vel), ezért \(\displaystyle MN=\frac{\sqrt 2}{2}\). Mivel \(\displaystyle MN\) benne van az \(\displaystyle AB\) felező merőleges síkjában, ezért \(\displaystyle MN\) merőleges \(\displaystyle AB\)-re. Másrészről \(\displaystyle FC=\frac{\sqrt3}2\), mert a testátló fele, ezért Pithagorsz tétel megfordítását alkalmazva \(\displaystyle MN^2+FC^2=\frac12 + \frac34=\frac54\) és \(\displaystyle MC\), az \(\displaystyle MBC\) derékszögű háromszög átfogója, tehát (Pithagorasz tétellel) \(\displaystyle MC^2=MB^2+BC^2=\frac 14 + 1=\frac54\), azaz \(\displaystyle MN^2+FC^2=MC^2\): \(\displaystyle MN\) merőleges \(\displaystyle EC\)-re. A keresett távolság tehát \(\displaystyle MN=\frac{\sqrt 2}{2}\).


Statistics:

133 students sent a solution.
5 points:88 students.
4 points:11 students.
2 points:15 students.
1 point:7 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011