KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years



Order KöMaL!

Competitions Portal

C. 1077. E is the point dividing side AC of triangle ABC in a 3:1 ratio, such that EC is the shorter part. The line passing through E and the midpoint F of side BC intersects the line AB at D. What percentage is the area of triangle ADE of the triangle ABC?

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2011.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A háromszög &tex;\displaystyle B&xet; csúcsából húzzunk párhuzamost az &tex;\displaystyle AC&xet; oldallal: ez &tex;\displaystyle G&xet;-ben metszi &tex;\displaystyle ED&xet;-t. &tex;\displaystyle FBG_\triangle \cong FCE_\triangle&xet;, mert a párhuzamos oldalaik miatt hasonlóak és &tex;\displaystyle F&xet; felezőpont miatt &tex;\displaystyle CF=FB&xet; (azaz &tex;\displaystyle F&xet;-re középpontosan tükrösek), így &tex;\displaystyle BG=EC=AC/4=x&xet; (és &tex;\displaystyle AE=3x&xet;). &tex;\displaystyle ADE_\triangle \sim BDG_\triangle&xet; az egyállású szögeik miatt, így az oldalakra &tex;\displaystyle \frac{x}{3x}=\frac{GB}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{y}{3y}&xet;, azaz &tex;\displaystyle AB=2y&xet;. A területek aránya pedig

&tex;\displaystyle \frac{t_{ADE}}{t_{ABC}}=\frac{{1 \over 2}AE\cdot AD\cdot \sin\alpha}{{1 \over 2}AC\cdot AB\cdot \sin\alpha}=\frac{9xy}{8xy}=\frac 98 .&xet;

Az &tex;\displaystyle ADE&xet; háromszög területe &tex;\displaystyle 112,5\%&xet;-a az &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszög területének.

Statistics on problem C. 1077.
117 students sent a solution.
5 points:103 students.
4 points:7 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
0 point:4 students.

  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma  
    OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley