KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1078. Define ``words'' as strings of at most ten characters made out of the 26 letters of the English alphabet. (A ``word'' may as well consist of a single letter, and two ``words'' are considered different if they differ in at least one letter.) Prove that the number of all possible ``words'' obtained in this way is divisible by 27.

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha egy "szó" \(\displaystyle k\) karakterből áll, akkor az ilyen "szavak" száma \(\displaystyle 26^k\), mert ez egyes helyekre egymástól függetlenül bármely betűt választhatjuk az abc-ből. Összesen \(\displaystyle N=26+26^2+\dots 26^{10}=26\cdot \frac{26^{10}-1}{25}\) "szót" alkottunk. Ha 27 osztja \(\displaystyle 26^{10}-1\)-t, akkor \(\displaystyle N\)-t is, mert 27 és 25 relatív prímek. \(\displaystyle 26^{10}-1=(26^5-1)(26^5+1)=(26^5-1)(26+1)(26^4-26^3+26^2-26+1)\), mely szorzatnak 27 osztója.


Statistics on problem C. 1078.
141 students sent a solution.
5 points:98 students.
4 points:31 students.
3 points:6 students.
2 points:1 student.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley