KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1078. (April 2011)

C. 1078. Define ``words'' as strings of at most ten characters made out of the 26 letters of the English alphabet. (A ``word'' may as well consist of a single letter, and two ``words'' are considered different if they differ in at least one letter.) Prove that the number of all possible ``words'' obtained in this way is divisible by 27.

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy "szó" \(\displaystyle k\) karakterből áll, akkor az ilyen "szavak" száma \(\displaystyle 26^k\), mert ez egyes helyekre egymástól függetlenül bármely betűt választhatjuk az abc-ből. Összesen \(\displaystyle N=26+26^2+\dots 26^{10}=26\cdot \frac{26^{10}-1}{25}\) "szót" alkottunk. Ha 27 osztja \(\displaystyle 26^{10}-1\)-t, akkor \(\displaystyle N\)-t is, mert 27 és 25 relatív prímek. \(\displaystyle 26^{10}-1=(26^5-1)(26^5+1)=(26^5-1)(26+1)(26^4-26^3+26^2-26+1)\), mely szorzatnak 27 osztója.


Statistics:

141 students sent a solution.
5 points:98 students.
4 points:31 students.
3 points:6 students.
2 points:1 student.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley