Problem C. 1080. (May 2011)

C. 1080. A steerable airship has two engines and a given supply of fuel. If both engines are operated, the airship covers 88 kilometres per hour. If the first engine were used only, the fuel would last 25 hours longer, but the distance covered per hour would only be 45 km. If the second engine were used only, the fuel would last 16 hours longer than with two engines, and the distance covered per hour would only be 72 km. In which case can the airship travel the longest distance?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A léghajó működését úgy képzeljük, hogy ha az első motor üzemanyagfogyasztása \(\displaystyle e\), a másodiké \(\displaystyle m\), akkor a két motort egyszerre használva a fogyasztás \(\displaystyle e+m\).

Ha fogyasztást liter/órában értjük, és két motorral a léghajó \(\displaystyle t>0\) ideig megy, akkor

\(\displaystyle {1\over{t+25}}+{1\over{t+16}}={1\over t}\)

szerint \(\displaystyle t=20\)óra.

Ha a fogyasztást km/órában értjük, akkor

\(\displaystyle {1\over{45(t+25)}}+{1\over{72(t+16)}}={1\over{88t}},\)

ahonnan \(\displaystyle t\approx 9\)óra.

Mindkét esetben csak a második motort használva jutunk a legmesszebbre.

Ha mindkét motor használata esetén az üzemanyagfogyasztás nem függ \(\displaystyle e\)-től és \(\displaystyle m\)-től, akkor hasonlítsuk össze a megtett utakat: \(\displaystyle 45(t+25)=45t+1125<72(t+16)=72t+1152\) mindig és \(\displaystyle 72(t+16)=72t+1152<88t\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle t>72\)óra. Tehát (az előzőekkel összhangban) ha két motorral 72 óránál kevesebb ideig tudunk repülni, akkor a második motort kell használni, ellenkező esetben pedig mindkét motort.

Általánosan is megnézhetjük, hogy milyen stratégiát érdemes választani akkor, ha \(\displaystyle a_1\) és \(\displaystyle a_2\) (l/h) üzemanyag-fogyasztások mellett \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) (km/h) sebességgel tudunk haladni, miközben az összes üzemanyag \(\displaystyle V\) (l). A kérdés, mennyi ideig alkalmazzuk az egyes üzemmeneteket. Az egyenletes haladás miatt összesen \(\displaystyle t_1\) ideig az első és \(\displaystyle t_2\) ideig a második üzemmódot használjuk, míg el nem fogy az üzemanyag: \(\displaystyle a_1\cdot t_1 + a_2\cdot t_2 = V\), és ez alatt \(\displaystyle v_1\cdot t_1 + v_2\cdot t_2 = S\) messzire jutunk. Az első összefüggésből \(\displaystyle t_2=\frac{V}{a_2}-\frac{a_1 \cdot t_1}{a_2}\), amit a másodikban alkalmazva \(\displaystyle S=v_1 \cdot t_1 + \frac{v_2 \cdot V}{a_2}-\frac{v_2\cdot a_1}{a_2}t_1=\frac{v_2 \cdot V}{a_2}+\left(v_1-\frac{v_2\cdot a_1}{a_2}\right)t_1\). \(\displaystyle S\) akkor a legnagyobb, amikor \(\displaystyle \left(v_1-\frac{v_2\cdot a_1}{a_2}\right)t_1\) a legnagyobb. Ha \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}>\frac{a_1}{a_2}\), akkor \(\displaystyle t_1\) maximumánál (azaz \(\displaystyle t_2=0\) esetben) a legnagyobb \(\displaystyle S\), míg ha \(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}<\frac{a_1}{a_2}\) áll fenn, akkor \(\displaystyle t_1=0\) esetben lesz \(\displaystyle S\) maximális. (Egyenlőség esetén nyilván mindegy, melyik üzemmódban vagyunk.)

Tehát a sebesség és üzemanyagfogyasztás aránya határozza meg a nyerő stratégiát: amelyik üzemmódban az arány (\(\displaystyle \lambda\)) a legnagyobb, azt használjuk, a többit pedig egyáltalán nem. A feladat szerint jelöljük az adott benzinkészletet \(\displaystyle V\)-vel, a két motort egyszerre használva pedig összesen \(\displaystyle t\) ideig tudunk repülni. Ekkor két motort használva \(\displaystyle \lambda_{I+II}=\frac{88}{V \over t}=\frac{88t}{V}\), \(\displaystyle \lambda_{I}=\frac{45}{V \over {t+25}}=\frac{45t+1125}{V}\) és \(\displaystyle \lambda_{II}=\frac{72}{V \over {t+16}}=\frac{72t+1152}{V}\). Mivel \(\displaystyle \lambda_I<\lambda_{II}\), ezért csak ez I. motort nem érdemes használni. \(\displaystyle \lambda_{I+II}>\lambda_{II}\) pontosan akkor, ha \(\displaystyle 88t>72t+1152\), azaz \(\displaystyle t>72\).

Statistics:

95 students sent a solution.
5 points:	77 students.
4 points:	10 students.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011