KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1081. Two regular polygons are said to be matching if the double of the interior angle of one of them equals the triple of the exterior angle of the other. Find all pairs of matching polygons.

(5 points)

Deadline expired on 10 June 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyik szabályos sokszög \(\displaystyle k\)-szög, a másik \(\displaystyle n\)-szög. Ekkor a \(\displaystyle k\)-szög belső szöge \(\displaystyle \frac{(k-2)\cdot 180^\circ}{k}\), az \(\displaystyle n\)-szög külső szöge \(\displaystyle \frac{360^\circ}{n}\). A két sokszög összetartozó, ha

\(\displaystyle \frac{k\cdot 360^\circ-720^\circ}{k}=\frac{1080^\circ}{n}.\)

Egyszerűsítve: \(\displaystyle 1-\frac 2k=\frac{3}{n}\), ahonnan \(\displaystyle n=\frac{3k}{k-2}=3+\frac{6}{k-2}\). Mivel \(\displaystyle n\ge 3\) egész, ezért \(\displaystyle \frac{6}{k-2}\) nemnegatív egész: \(\displaystyle k-2\) a 6 pozitív osztója. Tehát \(\displaystyle k-2\) csak 1, 2, 3, 6 lehet, azaz \(\displaystyle k\) 3, 4, 5 vagy 8. A hozzá tartozó \(\displaystyle n\) értékek pedig 9, 6, 5, 4. Az összetartozó szabályos sokszögpárok: (3, 9), (4, 6), (5, 5) és (8, 4) a feladat szerinti rendezett párokként.


Statistics on problem C. 1081.
109 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:19 students.
3 points:14 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley