KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1081. (May 2011)

C. 1081. Two regular polygons are said to be matching if the double of the interior angle of one of them equals the triple of the exterior angle of the other. Find all pairs of matching polygons.

(5 pont)

Deadline expired on 10 June 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyik szabályos sokszög \(\displaystyle k\)-szög, a másik \(\displaystyle n\)-szög. Ekkor a \(\displaystyle k\)-szög belső szöge \(\displaystyle \frac{(k-2)\cdot 180^\circ}{k}\), az \(\displaystyle n\)-szög külső szöge \(\displaystyle \frac{360^\circ}{n}\). A két sokszög összetartozó, ha

\(\displaystyle \frac{k\cdot 360^\circ-720^\circ}{k}=\frac{1080^\circ}{n}.\)

Egyszerűsítve: \(\displaystyle 1-\frac 2k=\frac{3}{n}\), ahonnan \(\displaystyle n=\frac{3k}{k-2}=3+\frac{6}{k-2}\). Mivel \(\displaystyle n\ge 3\) egész, ezért \(\displaystyle \frac{6}{k-2}\) nemnegatív egész: \(\displaystyle k-2\) a 6 pozitív osztója. Tehát \(\displaystyle k-2\) csak 1, 2, 3, 6 lehet, azaz \(\displaystyle k\) 3, 4, 5 vagy 8. A hozzá tartozó \(\displaystyle n\) értékek pedig 9, 6, 5, 4. Az összetartozó szabályos sokszögpárok: (3, 9), (4, 6), (5, 5) és (8, 4) a feladat szerinti rendezett párokként.


Statistics:

109 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:19 students.
3 points:14 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley