KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1084. (May 2011)

C. 1084. The point P(8;4) divides a chord of the parabola y2=4x in a 1:4 ratio. Find the coordinates of the endpoints of the chord.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a parabola \(\displaystyle AB\) húrjának osztópontja a \(\displaystyle P(8,\ 4)\). Ekkor az \(\displaystyle A(a_1,\ a_2)\) és \(\displaystyle B(b_1,\ b_2)\) koordinátákra fennállnak a következő összefüggések (a parabola egyenlete szerint és az osztópont koordinátáira vonatkozó összefüggés szerint):

\(\displaystyle a_2^2=4a_1, \qquad b_2^2=4b_1,\)

\(\displaystyle \frac{4a_1 + b_1}{5}=8,\qquad \frac{4a_2 + b_2}{5}=4.\)

A (3.)-ba használjuk az első két összefüggést: \(\displaystyle a_2^2 + \frac{b_2 ^2}{4}=40\), illetve a (4.)-ből \(\displaystyle b_2=20-4a_2\). Ez utóbbit behelyettesítve kapjuk az \(\displaystyle a_2^2 + (10-2a_2)^2=40\) egyenletet, amit rendezve \(\displaystyle a_2^2 -8a_2 +12=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, melynek megoldásai a 6 és 2. Tehát két húr van, melynek 1:4 arányú osztópontja \(\displaystyle P\). Visszahelyettesítések után kapjuk az \(\displaystyle A_1(1,\ 2)\), \(\displaystyle B_1(36,\ 12)\) húrt (\(\displaystyle A_1\) van \(\displaystyle P\)-hez közelebb) és az \(\displaystyle A_2(9,\ 6)\), \(\displaystyle B_2(4,\ -4)\) húrt (\(\displaystyle A_2\) van \(\displaystyle P\)-hez közelebb).


Statistics:

79 students sent a solution.
5 points:56 students.
4 points:2 students.
3 points:8 students.
2 points:3 students.
1 point:6 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley