KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1085. (September 2011)

C. 1085. There are n coins on the table, with their tails side facing upwards. In each step, n-1 coins are turned over. Is it possible to achieve that all coins have heads facing upwards?

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 1. eset: \(\displaystyle n\) páros szám. Ekkor elérhető, hogy mindegyik érmén fej legyen felül. Az algoritmus a következő: Egymás mellé rakva az érméket, számozzuk meg őket 1-től \(\displaystyle n\)-ig. Az 1. lépésben fordítsuk meg a 1., 2., ..., \(\displaystyle n-1\). érmét. A 2. lépésben fordítsuk meg a 2., 3., ..., \(\displaystyle n.\) érmét. És így tovább, a \(\displaystyle k\). (\(\displaystyle 3\leq k\leq n\)) lépésben fordítsuk meg az \(\displaystyle 1\)., \(\displaystyle 2\).,..., \(\displaystyle k-2\)., \(\displaystyle k\)., \(\displaystyle k+1.\),..., \(\displaystyle n-1\)., \(\displaystyle n\). érmét.

A végén minden érmét pontosan \(\displaystyle n-1\)-szer fordítottunk meg (\(\displaystyle k<n\) esetén a \(\displaystyle k\). érmét csak a \(\displaystyle k+1\). lépésben nem fordítottuk meg, az \(\displaystyle n\). érmét pedig csak az első lépésben). Mivel \(\displaystyle n-1\) páratlan szám, így a végén minden érmén a fej lesz felül.

2. eset: \(\displaystyle n\) páratlan szám. Ekkor nem érhető el, hogy minden érmén fej legyen felül. Hiszen ha bizonyos számú lépés után minden érmén fej lenne, akkor ez azt jelentené, hogy mindegyik érmét páratlan sokszor fordítottuk meg. Mivel páratlan számú érménk van, ez összesen páratlan számú fordítást jelent. Ez viszont lehetetlen, mert minden lépésben páros számú érmét fordítunk.

Szilágyi Krisztina (Újvidék, Jovan Jovanovic Zmaj Gimn., 9. o. t.)


Statistics:

438 students sent a solution.
5 points:198 students.
4 points:41 students.
3 points:74 students.
2 points:39 students.
1 point:52 students.
0 point:31 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley