KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1086. In a right-angled triangle the length of the angle bisector of the right angle is 2\sqrt{10} and it divides the hypotenuse in a 1:2 ratio. Calculate the length of the altitude drawn to the hypotenuse.

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel egy háromszögben egy szögfelező a szögszáron levő oldalak hosszának arányában osztja a szöggel szemközti oldalt, ezért a derékszögű háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\) és \(\displaystyle \sqrt 5 a\), az átfogóhoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle m=\frac{2}{\sqrt 5}a\). A rövidebbik befogó és a szögfelező határolta háromszögben e két oldal bezárt szöge \(\displaystyle 45^\circ\): koszinusz-tételt felírhatjuk \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt 5 }3 a\right)^2=(2\sqrt{10})^2 + a^2 -2 \cdot 2\sqrt{10}\cdot a\cdot \frac{\sqrt 2}2\). Megoldva a \(\displaystyle \frac49 a^2 -4\sqrt5 a +40=0\) egyenletet (\(\displaystyle a=0\) és) \(\displaystyle a=9\sqrt5\). A háromszög átfogójához tartozó magassága tehát \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt 5}\cdot 9\sqrt5=\mathbf{18}\).


Statistics on problem C. 1086.
373 students sent a solution.
5 points:281 students.
4 points:16 students.
3 points:33 students.
2 points:23 students.
1 point:8 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley