KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1086. (September 2011)

C. 1086. In a right-angled triangle the length of the angle bisector of the right angle is 2\sqrt{10} and it divides the hypotenuse in a 1:2 ratio. Calculate the length of the altitude drawn to the hypotenuse.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel egy háromszögben egy szögfelező a szögszáron levő oldalak hosszának arányában osztja a szöggel szemközti oldalt, ezért a derékszögű háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\) és \(\displaystyle \sqrt 5 a\), az átfogóhoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle m=\frac{2}{\sqrt 5}a\). A rövidebbik befogó és a szögfelező határolta háromszögben e két oldal bezárt szöge \(\displaystyle 45^\circ\): koszinusz-tételt felírhatjuk \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt 5 }3 a\right)^2=(2\sqrt{10})^2 + a^2 -2 \cdot 2\sqrt{10}\cdot a\cdot \frac{\sqrt 2}2\). Megoldva a \(\displaystyle \frac49 a^2 -4\sqrt5 a +40=0\) egyenletet (\(\displaystyle a=0\) és) \(\displaystyle a=9\sqrt5\). A háromszög átfogójához tartozó magassága tehát \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt 5}\cdot 9\sqrt5=\mathbf{18}\).


Statistics:

373 students sent a solution.
5 points:281 students.
4 points:16 students.
3 points:33 students.
2 points:23 students.
1 point:8 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley