KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1087. The first term of an arithmetic progression is 1, its second term is n, and the sum of the first n terms is 33n. Find n.

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=n\), ebből \(\displaystyle d=a_2-a_1=n-1\).

Mivel ez egy számtani sorozat, így

\(\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\cdot d=a_1+(n-1)^2.\)

Mivel

\(\displaystyle 33n=S_n=\frac {a_1+a_n} {2} \cdot n=\frac {a_1+a_1+(n-1)^2} {2} \cdot n,\)

így

\(\displaystyle 33n=\frac {1+1+(n-1)^2} {2} \cdot n,\)

\(\displaystyle 33=\frac {2+(n-1)^2} {2},\)

\(\displaystyle 66=2+(n-1)^2,\)

\(\displaystyle 64=(n-1)^2.\)

Ebből \(\displaystyle n-1=\pm8\). Mivel \(\displaystyle n\) pozitív, ezért csak \(\displaystyle n-1=8\) lehet megoldás, ekkor \(\displaystyle n=9\).

Ez elkenőrizve teljesíti a feltételeket: \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=9\) esetén \(\displaystyle d=8\) és \(\displaystyle S_9=33\cdot9\).


Statistics on problem C. 1087.
481 students sent a solution.
5 points:357 students.
4 points:85 students.
3 points:12 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley