KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1087. (September 2011)

C. 1087. The first term of an arithmetic progression is 1, its second term is n, and the sum of the first n terms is 33n. Find n.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=n\), ebből \(\displaystyle d=a_2-a_1=n-1\).

Mivel ez egy számtani sorozat, így

\(\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\cdot d=a_1+(n-1)^2.\)

Mivel

\(\displaystyle 33n=S_n=\frac {a_1+a_n} {2} \cdot n=\frac {a_1+a_1+(n-1)^2} {2} \cdot n,\)

így

\(\displaystyle 33n=\frac {1+1+(n-1)^2} {2} \cdot n,\)

\(\displaystyle 33=\frac {2+(n-1)^2} {2},\)

\(\displaystyle 66=2+(n-1)^2,\)

\(\displaystyle 64=(n-1)^2.\)

Ebből \(\displaystyle n-1=\pm8\). Mivel \(\displaystyle n\) pozitív, ezért csak \(\displaystyle n-1=8\) lehet megoldás, ekkor \(\displaystyle n=9\).

Ez elkenőrizve teljesíti a feltételeket: \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=9\) esetén \(\displaystyle d=8\) és \(\displaystyle S_9=33\cdot9\).


Statistics:

481 students sent a solution.
5 points:357 students.
4 points:85 students.
3 points:12 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley