KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1088. The base of a right prism is a right-angled triangle. The lengths of the edges of the prism are integers. The prism has two faces with areas equal to 30 and 13 units. Find the volume of the prism.

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A derékszögű háromszög alapú egyenes hasábnak öt lapja van: két darab egybevágó háromszög (az alaplapok), a palástot pedig három téglalap alkotja. A hasáb magasságát jelölje \(\displaystyle m\), a háromszög oldalai pedig legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), ahol \(\displaystyle a<b<c\), tehát \(\displaystyle c\) a háromszög átfogója.

Ekkor a hasáb lapjainak területe rendre: \(\displaystyle \frac{ab}2\), \(\displaystyle am\), \(\displaystyle bm\) és \(\displaystyle cm\).

A hasáb térfogata egyenlő az alaplap területének és a hasáb magasságának szorzatával: \(\displaystyle V=\frac{abm}2\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle m~\in Z\), illetve a négy különböző terület közül az egyik 13, a másik 30.

Mivel 13 prímszám, ezért két eset lehetséges.

I) \(\displaystyle \frac{ab}2=13\);

II) \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) közül legalább egynek a hossza 1, és \(\displaystyle m=13\), vagy fordítva: \(\displaystyle m=1\) és \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle c\) pedig 13.

Vizsgáljuk meg mindkét esetet.

I) \(\displaystyle \frac{ab}2=13\), ekkor \(\displaystyle ab=26\). \(\displaystyle 26\)-nak négy pozitív egész osztója van: 1, 2, 13 és 26, vagyis vagy \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=26\), vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=13\). Egyik esetben sem lesz \(\displaystyle c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) egész szám, tehát \(\displaystyle ab \ne 26\).

II) \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) pitagoraszi számhármast alkotnak. Az 1 nem tagja egy pitagoraszi számhármasnak sem. Tehát \(\displaystyle m=1\). Ebből következik, hogy a háromszög egyik oldalának hossza 13 egység. Függvénytáblázatban láthatjuk, hogy 13 kettő pitagoraszi számhármasnak is tagja. Az egyik számhármas az 5, 12, 13, a másik pedig a 13, 84, 85. Az első számhármas megfelelő: \(\displaystyle \frac{5\cdot12}{2}=30\). A második számhármas esetén azonban nem keletkezik 30 egységnyi területű lap.

Azt kaptuk, hogy: \(\displaystyle a=5\), \(\displaystyle b=12\), \(\displaystyle c=13\) és \(\displaystyle m=1\).

Az élek ismeretében már megadható a hasáb térfogata:

\(\displaystyle V=\frac{ab}2 \cdot m=30.\)

A hasáb térfogata tehát 30 egység.

Cseppentő Bence (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 11. o. t.)


Statistics on problem C. 1088.
452 students sent a solution.
5 points:206 students.
4 points:85 students.
3 points:48 students.
2 points:32 students.
1 point:43 students.
0 point:31 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley