Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem C. 1091. (October 2011)

C. 1091. In the lottery, 5 numbers are drawn out of the numbers 1 to 90. One time, the following numbers were drawn, listed in increasing order: , , , , . The sum of the five numbers is , the product of the third and second numbers is , and the product of the third and fifth numbers is . Determine the digits a, b, c, de.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A növekvő számok miatt $\displaystyle a<b<d$ és $\displaystyle b<c$. A szorzatokat nézve $\displaystyle \overline{bc}\cdot \overline{ca} = \overline{bbec}$ és $\displaystyle \overline{ca}\cdot \overline{cd} = \overline{eccd}$ szerint az utolsó számjegyekből (és hozzátéve, hogy $\displaystyle a\ne d$) $\displaystyle a=1$ lehet csak. Az öt szám összege legfeljebb $\displaystyle 5 \cdot 99=495$ lehet, ami miatt $\displaystyle b\le 4$, másrészről az összeg -tízes számrendszer szerint- $\displaystyle 11a+12b+31c+d=100b+11c$. Átrendezve $\displaystyle 88b-11=d+20c\le 189$ miatt $\displaystyle b\le 2$, ezért $\displaystyle b=2$.. Így $\displaystyle d+20c=165$, ahol $\displaystyle d+20c$ utolsó számjegye $\displaystyle d=5$. Innen $\displaystyle c=8$. Tehát $\displaystyle 28\cdot 81=2268$, ahonnan $\displaystyle e=6$. A számjegyek tehát $\displaystyle \mathbf{a=1,\ b=2,\ c=8,\ d=5,\ e=6}$. Ellenőrzésképpen a kihúzott számok sorban 12, 28, 81, 82 és 85; a harmadik és ötödik szorzata $\displaystyle 81\cdot 85=6885$.

### Statistics:

 319 students sent a solution. 5 points: 177 students. 4 points: 62 students. 3 points: 36 students. 2 points: 13 students. 1 point: 20 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011