Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1091. (October 2011)

C. 1091. In the lottery, 5 numbers are drawn out of the numbers 1 to 90. One time, the following numbers were drawn, listed in increasing order: \overline{ab}, \overline{bc}, \overline{ca}, \overline{cb}, \overline{cd}. The sum of the five numbers is \overline{bcc}, the product of the third and second numbers is \overline{bbec}, and the product of the third and fifth numbers is \overline{eccd}. Determine the digits a, b, c, de.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A növekvő számok miatt \(\displaystyle a<b<d\) és \(\displaystyle b<c\). A szorzatokat nézve \(\displaystyle \overline{bc}\cdot \overline{ca} = \overline{bbec}\) és \(\displaystyle \overline{ca}\cdot \overline{cd} = \overline{eccd}\) szerint az utolsó számjegyekből (és hozzátéve, hogy \(\displaystyle a\ne d\)) \(\displaystyle a=1\) lehet csak. Az öt szám összege legfeljebb \(\displaystyle 5 \cdot 99=495\) lehet, ami miatt \(\displaystyle b\le 4\), másrészről az összeg -tízes számrendszer szerint- \(\displaystyle 11a+12b+31c+d=100b+11c\). Átrendezve \(\displaystyle 88b-11=d+20c\le 189\) miatt \(\displaystyle b\le 2\), ezért \(\displaystyle b=2\).. Így \(\displaystyle d+20c=165\), ahol \(\displaystyle d+20c\) utolsó számjegye \(\displaystyle d=5\). Innen \(\displaystyle c=8\). Tehát \(\displaystyle 28\cdot 81=2268\), ahonnan \(\displaystyle e=6\). A számjegyek tehát \(\displaystyle \mathbf{a=1,\ b=2,\ c=8,\ d=5,\ e=6}\). Ellenőrzésképpen a kihúzott számok sorban 12, 28, 81, 82 és 85; a harmadik és ötödik szorzata \(\displaystyle 81\cdot 85=6885\).


319 students sent a solution.
5 points:177 students.
4 points:62 students.
3 points:36 students.
2 points:13 students.
1 point:20 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011