KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 1092. C is an interior point of the line segment AB. Regular triangles are drawn over the line segments AC and BC on one side of AB, and a regular triangle is drawn over the whole AB on the other side. Prove that the centroids of the three triangles form a regular triangle.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az &tex;\displaystyle AC&xet; hossza legyen &tex;\displaystyle a'&xet;, a &tex;\displaystyle CB&xet; hossza legyen &tex;\displaystyle b'&xet; (akkor &tex;\displaystyle AB=a'+b'&xet;); a szabályos háromszögek középpontjai &tex;\displaystyle F&xet;, &tex;\displaystyle G&xet;, &tex;\displaystyle H&xet;; az &tex;\displaystyle AB&xet; oldalú másik szabályos háromszögé pedig &tex;\displaystyle H'&xet;. Jelölje &tex;\displaystyle AF=\frac{\sqrt 3}3 a'=a&xet;, &tex;\displaystyle BG=\frac{\sqrt 3}3 b'=b&xet; illetve &tex;\displaystyle AH=\frac{\sqrt 3}3 (a'+b')=a+b&xet;. Mivel &tex;\displaystyle AF&xet;, &tex;\displaystyle AH&xet;, &tex;\displaystyle BG&xet; és &tex;\displaystyle BH&xet; szögfelezők, ezért &tex;\displaystyle FAH\sphericalangle = HBG\sphericalangle = 60^\circ&xet;, továbbá &tex;\displaystyle GH'F\sphericalangle = 120^\circ&xet;. Koszinusz-tételt írjuk fel ezekre a szögekre: &tex;\displaystyle FH^2=a^2+(a+b)^2-2a(a+b)\cdot \frac 12=a^2 + ab + b^2=b^2+(a+b)^2-2\cdot \frac12 b(a+b)=BG^2&xet;, továbbá &tex;\displaystyle FG^2=a^2 + b^2 -2ab\cdot \left(\frac 12 \right)=a^2 + b^2 + ab&xet;. Hosszakról lévén szó &tex;\displaystyle FH=HG=GF&xet;, azaz valóban szabályos háromszöget kaptunk.

II. mo. &tex;\displaystyle AFH&xet; és &tex;\displaystyle H'GH&xet; háromszögek egybevágóak, mert két oldalukban és a közbezárt szögben megegyeznek (&tex;\displaystyle a&xet;, &tex;\displaystyle a+b&xet; és &tex;\displaystyle 60^\circ&xet;), másrészről egy &tex;\displaystyle H&xet; középpontú, &tex;\displaystyle -60^\circ&xet;-os forgatás viszi az elsőt a másodikba: &tex;\displaystyle FH&xet; és &tex;\displaystyle GH&xet; &tex;\displaystyle 60^\circ&xet;-os szöget zárnak be egymással és &tex;\displaystyle HF=HG&xet;. Az &tex;\displaystyle FHG&xet; háromszög valóban szabályos.


Statistics on problem C. 1092.
244 students sent a solution.
5 points:140 students.
4 points:44 students.
3 points:15 students.
2 points:14 students.
1 point:11 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program