KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 1092. C is an interior point of the line segment AB. Regular triangles are drawn over the line segments AC and BC on one side of AB, and a regular triangle is drawn over the whole AB on the other side. Prove that the centroids of the three triangles form a regular triangle.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Az AC hossza legyen a', a CB hossza legyen b' (akkor AB=a'+b'); a szabályos háromszögek középpontjai F, G, H; az AB oldalú másik szabályos háromszögé pedig H'. Jelölje AF=\frac{\sqrt 3}3 a'=a, BG=\frac{\sqrt 3}3 b'=b illetve AH=\frac{\sqrt 3}3 (a'+b')=a+b. Mivel AF, AH, BG és BH szögfelezők, ezért FAH\sphericalangle = HBG\sphericalangle = 60^\circ, továbbá GH'F\sphericalangle = 120^\circ. Koszinusz-tételt írjuk fel ezekre a szögekre: FH^2=a^2+(a+b)^2-2a(a+b)\cdot \frac 12=a^2 + ab + b^2=b^2+(a+b)^2-2\cdot \frac12 b(a+b)=BG^2, továbbá FG^2=a^2 + b^2 -2ab\cdot \left(\frac 12 \right)=a^2 + b^2 + ab. Hosszakról lévén szó FH=HG=GF, azaz valóban szabályos háromszöget kaptunk.

II. mo. AFH és H'GH háromszögek egybevágóak, mert két oldalukban és a közbezárt szögben megegyeznek (a, a+b és 60o), másrészről egy H középpontú, -60o-os forgatás viszi az elsőt a másodikba: FH és GH 60o-os szöget zárnak be egymással és HF=HG. Az FHG háromszög valóban szabályos.


Statistics on problem C. 1092.
244 students sent a solution.
5 points:140 students.
4 points:44 students.
3 points:15 students.
2 points:14 students.
1 point:11 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program