Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1092. (October 2011)

C. 1092. C is an interior point of the line segment AB. Regular triangles are drawn over the line segments AC and BC on one side of AB, and a regular triangle is drawn over the whole AB on the other side. Prove that the centroids of the three triangles form a regular triangle.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle AC\) hossza legyen \(\displaystyle a'\), a \(\displaystyle CB\) hossza legyen \(\displaystyle b'\) (akkor \(\displaystyle AB=a'+b'\)); a szabályos háromszögek középpontjai \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\); az \(\displaystyle AB\) oldalú másik szabályos háromszögé pedig \(\displaystyle H'\). Jelölje \(\displaystyle AF=\frac{\sqrt 3}3 a'=a\), \(\displaystyle BG=\frac{\sqrt 3}3 b'=b\) illetve \(\displaystyle AH=\frac{\sqrt 3}3 (a'+b')=a+b\). Mivel \(\displaystyle AF\), \(\displaystyle AH\), \(\displaystyle BG\) és \(\displaystyle BH\) szögfelezők, ezért \(\displaystyle FAH\sphericalangle = HBG\sphericalangle = 60^\circ\), továbbá \(\displaystyle GH'F\sphericalangle = 120^\circ\). Koszinusz-tételt írjuk fel ezekre a szögekre: \(\displaystyle FH^2=a^2+(a+b)^2-2a(a+b)\cdot \frac 12=a^2 + ab + b^2=b^2+(a+b)^2-2\cdot \frac12 b(a+b)=BG^2\), továbbá \(\displaystyle FG^2=a^2 + b^2 -2ab\cdot \left(\frac 12 \right)=a^2 + b^2 + ab\). Hosszakról lévén szó \(\displaystyle FH=HG=GF\), azaz valóban szabályos háromszöget kaptunk.

II. mo. \(\displaystyle AFH\) és \(\displaystyle H'GH\) háromszögek egybevágóak, mert két oldalukban és a közbezárt szögben megegyeznek (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+b\) és \(\displaystyle 60^\circ\)), másrészről egy \(\displaystyle H\) középpontú, \(\displaystyle -60^\circ\)-os forgatás viszi az elsőt a másodikba: \(\displaystyle FH\) és \(\displaystyle GH\) \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöget zárnak be egymással és \(\displaystyle HF=HG\). Az \(\displaystyle FHG\) háromszög valóban szabályos.


Statistics:

244 students sent a solution.
5 points:140 students.
4 points:44 students.
3 points:15 students.
2 points:14 students.
1 point:11 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011