Problem C. 1092.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 1092. C is an interior point of the line segment AB. Regular triangles are drawn over the line segments AC and BC on one side of AB, and a regular triangle is drawn over the whole AB on the other side. Prove that the centroids of the three triangles form a regular triangle.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Az AC hossza legyen a', a CB hossza legyen b' (akkor AB=a'+b'); a szabályos háromszögek középpontjai F, G, H; az AB oldalú másik szabályos háromszögé pedig H'. Jelölje $AF=\frac{\sqrt 3}3 a'=a$ , $BG=\frac{\sqrt 3}3 b'=b$ illetve $AH=\frac{\sqrt 3}3 (a'+b')=a+b$ . Mivel AF, AH, BG és BH szögfelezők, ezért $FAH\sphericalangle = HBG\sphericalangle = 60^\circ$ , továbbá $GH'F\sphericalangle = 120^\circ$ . Koszinusz-tételt írjuk fel ezekre a szögekre: $FH^2=a^2+(a+b)^2-2a(a+b)\cdot \frac 12=a^2 + ab + b^2=b^2+(a+b)^2-2\cdot \frac12 b(a+b)=BG^2$ , továbbá $FG^2=a^2 + b^2 -2ab\cdot \left(\frac 12 \right)=a^2 + b^2 + ab$ . Hosszakról lévén szó FH=HG=GF, azaz valóban szabályos háromszöget kaptunk.

II. mo. AFH és H'GH háromszögek egybevágóak, mert két oldalukban és a közbezárt szögben megegyeznek (a, a+b és 60^o), másrészről egy H középpontú, -60^o-os forgatás viszi az elsőt a másodikba: FH és GH 60^o-os szöget zárnak be egymással és HF=HG. Az FHG háromszög valóban szabályos.

Statistics on problem C. 1092.

244 students sent a solution.

5 points: 140 students.

4 points: 44 students.

3 points: 15 students.

2 points: 14 students.

1 point: 11 students.

0 point: 18 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011

Our web pages are supported by:

ELTE