KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1096. (November 2011)

C. 1096. The length of the edge of a cube is an integer. Consider one-third of the edge length, one half of the area of a face and one-sixth of the volume. Prove that the sum of the three numbers is an integer.

(5 pont)

Deadline expired on 12 December 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a kocka élének hossza \(\displaystyle n\), ekkor bizonyítandó, hogy \(\displaystyle N=\frac n3 + \frac{n^2}2 + \frac{n^3}6\) egész. Mivel \(\displaystyle 6N=n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\) három, egymást követő természetes szám szorzata (a legkisebb legalább 1, ezért \(\displaystyle 6N\ge 6\)), ezért van köztük páros szám, és van köztük 3-mal osztható is, ezért a szorzat osztható 6-tal, tehát \(\displaystyle N\) egész.


Statistics:

441 students sent a solution.
5 points:359 students.
4 points:15 students.
3 points:18 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley