Problem C. 1096. (November 2011)

C. 1096. The length of the edge of a cube is an integer. Consider one-third of the edge length, one half of the area of a face and one-sixth of the volume. Prove that the sum of the three numbers is an integer.

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a kocka élének hossza \(\displaystyle n\), ekkor bizonyítandó, hogy \(\displaystyle N=\frac n3 + \frac{n^2}2 + \frac{n^3}6\) egész. Mivel \(\displaystyle 6N=n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\) három, egymást követő természetes szám szorzata (a legkisebb legalább 1, ezért \(\displaystyle 6N\ge 6\)), ezért van köztük páros szám, és van köztük 3-mal osztható is, ezért a szorzat osztható 6-tal, tehát \(\displaystyle N\) egész.

Statistics:

438 students sent a solution.
5 points:	357 students.
4 points:	15 students.
3 points:	18 students.
2 points:	9 students.
1 point:	9 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011