KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1098. Prove that if two opposite angles of a convex circumscribed quadrilateral are right angles then the quadrilateral is a kite.

(5 points)

Deadline expired on 12 December 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsánál legyen a derékszög, továbbá \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\) és \(\displaystyle DA=d\). Mivel érintőnégyszög, ezért

\(\displaystyle (1)\qquad a+c=b+d,\)

az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle CDB\) derékszögű háromszögekben pedig Pithagorasz tétele szerint

\(\displaystyle (2)\qquad a^2 + d^2 = BD^2= b^2 + c^2.\)

Átrendezve és mindkét oldalának a négyzetét véve

\(\displaystyle (1^*)\qquad a^2 -2ad +d^2 = b^2 -2bc +c^2.\)

\(\displaystyle 2\cdot(2)-(1^*): \quad (a+d)^2=(b+c)^2,\)

ahonnan pozitív számok összegéről lévén szó \(\displaystyle a+d=b+c\). Ezt \(\displaystyle (1)\)-gyel összevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle a=b\) és \(\displaystyle c=d\), azaz a négyszög deltoid.


Statistics on problem C. 1098.
326 students sent a solution.
5 points:197 students.
4 points:67 students.
3 points:12 students.
1 point:29 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley