KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1099. In a quadrilateral ABCD, M is the midpoint of line segment AB, and N is the midpoint of line segment CD. The length of diagonals AC and BD is 2\sqrt{3}, and they enclose an angle of 60o. Find the distance MN.

Suggested by G. Dávid, Matlap, Kolozsvár

(5 points)

Deadline expired on 12 December 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AD\) felezőpontja. Az első esetben \(\displaystyle FM\) középvonal \(\displaystyle ADB\) háromszögben és \(\displaystyle FN\) középvonal \(\displaystyle ADC\) háromszögben, ezért \(\displaystyle FM=FN=\sqrt3\), továbbá bezért szögük \(\displaystyle 60^\circ\). Tehát \(\displaystyle MFN\) háromszög szabályos, ezért \(\displaystyle MN=\sqrt3\).

A második esetben \(\displaystyle MFN\) háromszög egyenlőszárú, a szárszöge \(\displaystyle 120^\circ\). \(\displaystyle MN\) hossza koszinusz-tétellel számolható, vagy az első eset szabályos háromszögének magasságának kétszereseként: \(\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot \sqrt3\), azaz \(\displaystyle MN=3\).


Statistics on problem C. 1099.
246 students sent a solution.
5 points:59 students.
4 points:5 students.
3 points:103 students.
2 points:17 students.
1 point:29 students.
0 point:27 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley