C. 1099. Az ABCD négyszögben M az AB, N pedig a CD szakasz felezőpontja. Az AC és BD átlók hossza , és 60^o-os szöget zárnak be. Mekkora az MN szakasz?

Javasolta: Dávid Géza (Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Használjuk az ábra jelöléseit, az F az AD felezőpontja. Az első esetben FM középvonal ADB háromszögben és FN középvonal ADC háromszögben, ezért , továbbá bezért szögük 60^o. Tehát MFN háromszög szabályos, ezért .

A második esetben MFN háromszög egyenlőszárú, a szárszöge 120^o. MN hossza koszinusz-tétellel számolható, vagy az első eset szabályos háromszögének magasságának kétszereseként: , azaz MN=3.

A C. 1099. feladat statisztikája 246 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 59 versenyző. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 103 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 29 versenyző. 0 pontot kapott: 27 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.