KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 1100. Fill in the appropriate fields of the table with numbers, such that, with the numbers given in the table, consecutive terms of geometric sequences are obtained in every row and in every column.

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa &tex;\displaystyle q&xet;. Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

&tex;\displaystyle \frac{12}{q^2}&xet; &tex;\displaystyle \frac{12}{q}&xet; 12 &tex;\displaystyle 12q&xet;
144 &tex;\displaystyle \frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}&xet;
&tex;\displaystyle 12^3 \cdot q^2&xet; 81
&tex;\displaystyle 12^4 \cdot q^4&xet; 288 &tex;\displaystyle \frac{4}{q^4}&xet; &tex;\displaystyle \frac{8}{12^2 \cdot q^8}&xet;

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: &tex;\displaystyle 12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}&xet;. Átrendezés után &tex;\displaystyle q=\frac 13&xet;. A táblázat "széle" tehát:

108 36 12 4
144 18
192 81
256 288 324 364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa &tex;\displaystyle k&xet;. Ekkor a középső négy cella kitölthető:

&tex;\displaystyle 36k&xet; &tex;\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}&xet;
&tex;\displaystyle 36k^2&xet; &tex;\displaystyle 54k&xet;

ahonnan &tex;\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2&xet;, amit rendezve &tex;\displaystyle 648k=81k^4&xet;, azaz &tex;\displaystyle k=2&xet;. Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108 36 12 4
144 72 36 18
192 144 108 81
256 288 324 364,5


Statistics on problem C. 1100.
262 students sent a solution.
5 points:109 students.
4 points:26 students.
3 points:11 students.
2 points:11 students.
1 point:43 students.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:21 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program