Problem C. 1100.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 1100. Fill in the appropriate fields of the table with numbers, such that, with the numbers given in the table, consecutive terms of geometric sequences are obtained in every row and in every column.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa q. Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

$\frac{12}{q^2}$	$\frac{12}{q}$	12	12q
144			$\frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}$
12³^.q²			81
12⁴^.q⁴	288	$\frac{4}{q^4}$	$\frac{8}{12^2 \cdot q^8}$

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: $12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}$ . Átrendezés után $q=\frac 13$ . A táblázat "széle" tehát:

108	36	12	4
144			18
192			81
256	288	324	364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa k. Ekkor a középső négy cella kitölthető:

36k	$\sqrt{36k\cdot 18}$
36k²	54k

ahonnan $\sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2$ , amit rendezve 648k=81k⁴, azaz k=2. Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108	36	12	4
144	72	36	18
192	144	108	81
256	288	324	364,5

Statistics on problem C. 1100.

262 students sent a solution.

5 points: 109 students.

4 points: 26 students.

3 points: 11 students.

2 points: 11 students.

1 point: 43 students.

0 point: 41 students.

Unfair, not evaluated: 21 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011

Our web pages are supported by:

ELTE