KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1100. (December 2011)

C. 1100. Fill in the appropriate fields of the table with numbers, such that, with the numbers given in the table, consecutive terms of geometric sequences are obtained in every row and in every column.

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa \(\displaystyle q\). Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

\(\displaystyle \frac{12}{q^2}\) \(\displaystyle \frac{12}{q}\) 12 \(\displaystyle 12q\)
144 \(\displaystyle \frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}\)
\(\displaystyle 12^3 \cdot q^2\) 81
\(\displaystyle 12^4 \cdot q^4\) 288 \(\displaystyle \frac{4}{q^4}\) \(\displaystyle \frac{8}{12^2 \cdot q^8}\)

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: \(\displaystyle 12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}\). Átrendezés után \(\displaystyle q=\frac 13\). A táblázat "széle" tehát:

108 36 12 4
144 18
192 81
256 288 324 364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa \(\displaystyle k\). Ekkor a középső négy cella kitölthető:

\(\displaystyle 36k\) \(\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\)
\(\displaystyle 36k^2\) \(\displaystyle 54k\)

ahonnan \(\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2\), amit rendezve \(\displaystyle 648k=81k^4\), azaz \(\displaystyle k=2\). Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108 36 12 4
144 72 36 18
192 144 108 81
256 288 324 364,5

Statistics:

>
262 students sent a solution.
5 points:109 students.
4 points:26 students.
3 points:11 students.
2 points:11 students.
1 point:43 students.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:21 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley