KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

C. 1100. Írjunk a táblázat megfelelő mezőibe olyan számokat, amelyek az előre beírtakkal együtt minden sorban és minden oszlopban mértani sorozatok egymást követő elemei lesznek.

12
144
81
288

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.


Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa q. Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

\frac{12}{q^2} \frac{12}{q} 12 12q
144 \frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}
123.q2 81
124.q4 288 \frac{4}{q^4} \frac{8}{12^2 \cdot q^8}

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: 12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}. Átrendezés után q=\frac 13. A táblázat "széle" tehát:

108 36 12 4
144 18
192 81
256 288 324 364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa k. Ekkor a középső négy cella kitölthető:

36k \sqrt{36k\cdot 18}
36k2 54k

ahonnan \sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2, amit rendezve 648k=81k4, azaz k=2. Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108 36 12 4
144 72 36 18
192 144 108 81
256 288 324 364,5


A C. 1100. feladat statisztikája
262 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:109 versenyző.
4 pontot kapott:26 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:43 versenyző.
0 pontot kapott:41 versenyző.
Nem versenyszerű:21 dolgozat.


  • A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap