A C. 1100. feladat

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1100. Írjunk a táblázat megfelelő mezőibe olyan számokat, amelyek az előre beírtakkal együtt minden sorban és minden oszlopban mértani sorozatok egymást követő elemei lesznek.

		12
144
			81
	288

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa q. Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

$\frac{12}{q^2}$	$\frac{12}{q}$	12	12q
144			$\frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}$
12³^.q²			81
12⁴^.q⁴	288	$\frac{4}{q^4}$	$\frac{8}{12^2 \cdot q^8}$

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: $12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}$ . Átrendezés után $q=\frac 13$ . A táblázat "széle" tehát:

108	36	12	4
144			18
192			81
256	288	324	364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa k. Ekkor a középső négy cella kitölthető:

36k	$\sqrt{36k\cdot 18}$
36k²	54k

ahonnan $\sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2$ , amit rendezve 648k=81k⁴, azaz k=2. Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108	36	12	4
144	72	36	18
192	144	108	81
256	288	324	364,5

A C. 1100. feladat statisztikája

262 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 109 versenyző.

4 pontot kapott: 26 versenyző.

3 pontot kapott: 11 versenyző.

2 pontot kapott: 11 versenyző.

1 pontot kapott: 43 versenyző.

0 pontot kapott: 41 versenyző.

Nem versenyszerű: 21 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai

Támogatóink:

ELTE