KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Hírek Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Reklám:

Kifordítható

tetraeder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1100. Írjunk a táblázat megfelelő mezőibe olyan számokat, amelyek az előre beírtakkal együtt minden sorban és minden oszlopban mértani sorozatok egymást követő elemei lesznek.

12
144
81
288

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa \(\displaystyle q\). Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

\(\displaystyle \frac{12}{q^2}\) \(\displaystyle \frac{12}{q}\) 12 \(\displaystyle 12q\)
144 \(\displaystyle \frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}\)
\(\displaystyle 12^3 \cdot q^2\) 81
\(\displaystyle 12^4 \cdot q^4\) 288 \(\displaystyle \frac{4}{q^4}\) \(\displaystyle \frac{8}{12^2 \cdot q^8}\)

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: \(\displaystyle 12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}\). Átrendezés után \(\displaystyle q=\frac 13\). A táblázat "széle" tehát:

108 36 12 4
144 18
192 81
256 288 324 364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa \(\displaystyle k\). Ekkor a középső négy cella kitölthető:

\(\displaystyle 36k\) \(\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\)
\(\displaystyle 36k^2\) \(\displaystyle 54k\)

ahonnan \(\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2\), amit rendezve \(\displaystyle 648k=81k^4\), azaz \(\displaystyle k=2\). Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108 36 12 4
144 72 36 18
192 144 108 81
256 288 324 364,5


A C. 1100. feladat statisztikája
262 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:109 versenyző.
4 pontot kapott:26 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:43 versenyző.
0 pontot kapott:41 versenyző.
Nem versenyszerű:21 dolgozat.


  • A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
    Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley