KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1100. Írjunk a táblázat megfelelő mezőibe olyan számokat, amelyek az előre beírtakkal együtt minden sorban és minden oszlopban mértani sorozatok egymást követő elemei lesznek.

12
144
81
288

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az első sorban található mértani sorozat hányadosa &tex;\displaystyle q&xet;. Egy mértani sorozat három egymást követő elemére mindig teljesül, hogy a két szélső elem mértani közepe a középső elem. Ez alapján kitölthető a táblázat első sora, majd az első oszlop, majd a negyedik sor, végül a negyedik oszlop:

&tex;\displaystyle \frac{12}{q^2}&xet; &tex;\displaystyle \frac{12}{q}&xet; 12 &tex;\displaystyle 12q&xet;
144 &tex;\displaystyle \frac{9^4 \cdot 12^2 \cdot q^8}{8}&xet;
&tex;\displaystyle 12^3 \cdot q^2&xet; 81
&tex;\displaystyle 12^4 \cdot q^4&xet; 288 &tex;\displaystyle \frac{4}{q^4}&xet; &tex;\displaystyle \frac{8}{12^2 \cdot q^8}&xet;

Az utolsó oszlopban levő mértani sorozat második elemét az oszlopban alatta levő két kifejezésből kaptuk. Ugyanakkor az első három elemre teljesül: &tex;\displaystyle 12q \cdot 81 = \frac{9^6 \cdot 12^4 \cdot q^{16}}{8^2}&xet;. Átrendezés után &tex;\displaystyle q=\frac 13&xet;. A táblázat "széle" tehát:

108 36 12 4
144 18
192 81
256 288 324 364,5

A középső négy cella kitöltéséhez legyen a második oszlopbeli mértani sorozat hányadosa &tex;\displaystyle k&xet;. Ekkor a középső négy cella kitölthető:

&tex;\displaystyle 36k&xet; &tex;\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}&xet;
&tex;\displaystyle 36k^2&xet; &tex;\displaystyle 54k&xet;

ahonnan &tex;\displaystyle \sqrt{36k\cdot 18}\cdot 324 = 54^2 \cdot k^2&xet;, amit rendezve &tex;\displaystyle 648k=81k^4&xet;, azaz &tex;\displaystyle k=2&xet;. Ezt felhasználva a kitöltött táblázat:

108 36 12 4
144 72 36 18
192 144 108 81
256 288 324 364,5


A C. 1100. feladat statisztikája
262 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:109 versenyz .
4 pontot kapott:26 versenyz .
3 pontot kapott:11 versenyz .
2 pontot kapott:11 versenyz .
1 pontot kapott:43 versenyz .
0 pontot kapott:41 versenyz .
Nem versenyszer :21 dolgozat.


  • A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap