Problem C. 1104. (December 2011)

C. 1104. Every angle of a hexagon is 120^o, and the lengths of its sides are and , alternating. Prove that the area of the hexagon is an integer.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Hosszabbítsuk meg a hatszög \(\displaystyle \sqrt{3-\sqrt3}\) hosszúságú oldalait: ezen egyenesek egy szabályos háromszöget határoznak meg, melynek oldalai \(\displaystyle \sqrt{3-\sqrt3}+2\sqrt{9-3\sqrt3}\) hosszúságúak. Ezen háromszög csácsainál egy-egy \(\displaystyle \sqrt{9-3\sqrt3}\) oldalú szabályos háromszöget levágva kapjuk a feladat hatszögét: területet is ez alapján számoljuk ki.

\(\displaystyle t=\sqrt{3-\sqrt3}(1+2\sqrt3)^2 \cdot \frac{ \sqrt3}4-3(\sqrt3\sqrt{3-\sqrt3})^2 \cdot \frac{\sqrt3}{4} = (3-\sqrt3)\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot (13+4\sqrt3 -9)=(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)=6.\)

Statistics:

278 students sent a solution.
5 points:	121 students.
4 points:	82 students.
3 points:	49 students.
2 points:	15 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011