Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1105. (January 2012)

C. 1105. Two regular polygons are drawn. In one of them, sides are drawn in red and diagonals are drawn in green. In the other, sides are green and diagonals are red. There are 103 red line segments and 80 green line segments altogether. How many sides do the polygons have?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sokszögek oldalszáma legyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\), akkor az átlók száma \(\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\) és \(\displaystyle \frac{m(m-3)}{2}\). A piros szakaszok száma \(\displaystyle n+\frac{m(m-3)}{2}=103\), a zöld szakaszok száma \(\displaystyle m+\frac{n(n-3)}{2}=80\). A két egyenlet különbségéből \(\displaystyle n-m+\frac{m^2-n^2+3(n-m)}{2}=23\), ami szorzattá alakítható: \(\displaystyle (m-n)(m+n-5)=46\). Mivel \(\displaystyle m+n>5\), ezért \(\displaystyle m-n>0\); a piros szakaszok hosszából kaphatunk becslést \(\displaystyle m\)-re: \(\displaystyle (m-2)^2<206\), azaz \(\displaystyle m<17\); illetve a zöld szakaszok számából \(\displaystyle n\)-re: \(\displaystyle (n-2)^2<160\), azaz \(\displaystyle n<13\) egészek, ezért \(\displaystyle m+n-5<25\) és \(\displaystyle m-n<14\). 46 szorzattá bontásából \(\displaystyle m+n-5=23\) és \(\displaystyle m-n=2\) lehet. Az egyenletrendszert megoldva \(\displaystyle m=15\) és \(\displaystyle n=13\). Az egyik sokszög 15 oldalú, a másik 13 oldalú.


Statistics:

301 students sent a solution.
5 points:132 students.
4 points:68 students.
3 points:29 students.
2 points:39 students.
1 point:17 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012