KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1105. Two regular polygons are drawn. In one of them, sides are drawn in red and diagonals are drawn in green. In the other, sides are green and diagonals are red. There are 103 red line segments and 80 green line segments altogether. How many sides do the polygons have?

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A sokszögek oldalszáma legyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\), akkor az átlók száma \(\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\) és \(\displaystyle \frac{m(m-3)}{2}\). A piros szakaszok száma \(\displaystyle n+\frac{m(m-3)}{2}=103\), a zöld szakaszok száma \(\displaystyle m+\frac{n(n-3)}{2}=80\). A két egyenlet különbségéből \(\displaystyle n-m+\frac{m^2-n^2+3(n-m)}{2}=23\), ami szorzattá alakítható: \(\displaystyle (m-n)(m+n-5)=46\). Mivel \(\displaystyle m+n>5\), ezért \(\displaystyle m-n>0\); a piros szakaszok hosszából kaphatunk becslést \(\displaystyle m\)-re: \(\displaystyle (m-2)^2<206\), azaz \(\displaystyle m<17\); illetve a zöld szakaszok számából \(\displaystyle n\)-re: \(\displaystyle (n-2)^2<160\), azaz \(\displaystyle n<13\) egészek, ezért \(\displaystyle m+n-5<25\) és \(\displaystyle m-n<14\). 46 szorzattá bontásából \(\displaystyle m+n-5=23\) és \(\displaystyle m-n=2\) lehet. Az egyenletrendszert megoldva \(\displaystyle m=15\) és \(\displaystyle n=13\). Az egyik sokszög 15 oldalú, a másik 13 oldalú.


Statistics on problem C. 1105.
301 students sent a solution.
5 points:132 students.
4 points:68 students.
3 points:29 students.
2 points:39 students.
1 point:17 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley