KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 1105. Two regular polygons are drawn. In one of them, sides are drawn in red and diagonals are drawn in green. In the other, sides are green and diagonals are red. There are 103 red line segments and 80 green line segments altogether. How many sides do the polygons have?

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A sokszögek oldalszáma legyen &tex;\displaystyle n&xet; és &tex;\displaystyle m&xet;, akkor az átlók száma &tex;\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}&xet; és &tex;\displaystyle \frac{m(m-3)}{2}&xet;. A piros szakaszok száma &tex;\displaystyle n+\frac{m(m-3)}{2}=103&xet;, a zöld szakaszok száma &tex;\displaystyle m+\frac{n(n-3)}{2}=80&xet;. A két egyenlet különbségéből &tex;\displaystyle n-m+\frac{m^2-n^2+3(n-m)}{2}=23&xet;, ami szorzattá alakítható: &tex;\displaystyle (m-n)(m+n-5)=46&xet;. Mivel &tex;\displaystyle m+n>5&xet;, ezért &tex;\displaystyle m-n>0&xet;; a piros szakaszok hosszából kaphatunk becslést &tex;\displaystyle m&xet;-re: &tex;\displaystyle (m-2)^2<206&xet;, azaz &tex;\displaystyle m<17&xet;; illetve a zöld szakaszok számából &tex;\displaystyle n&xet;-re: &tex;\displaystyle (n-2)^2<160&xet;, azaz &tex;\displaystyle n<13&xet; egészek, ezért &tex;\displaystyle m+n-5<25&xet; és &tex;\displaystyle m-n<14&xet;. 46 szorzattá bontásából &tex;\displaystyle m+n-5=23&xet; és &tex;\displaystyle m-n=2&xet; lehet. Az egyenletrendszert megoldva &tex;\displaystyle m=15&xet; és &tex;\displaystyle n=13&xet;. Az egyik sokszög 15 oldalú, a másik 13 oldalú.


Statistics on problem C. 1105.
301 students sent a solution.
5 points:132 students.
4 points:68 students.
3 points:29 students.
2 points:39 students.
1 point:17 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program