KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1106. (January 2012)

C. 1106. Depending on the parameter a, how many zeros does the function defined by


f(x)= \left\{
\matrix{
\sqrt{x^2 + 4x +4}-a, & {\rm if\ } x\le 0,\cr
x^2-4x+a, & {\rm if\ } x>0 \cr
}\right.

have?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

\(\displaystyle \sqrt{x^2 + 4x +4}-a=\sqrt{(x+2)^2}-a=|x+2|-a=\)

\(\displaystyle x^2-4x+a=(x-2)^2-4+a\), ha \(\displaystyle x>0\).

Tehát

Ábrázoljuk a függvényt \(\displaystyle a=0\) esetén:

Nézzük meg \(\displaystyle f(x)\) zérushelyeinek számát \(\displaystyle a\) paramétertől függően az \(\displaystyle x\leq0\), illetve az \(\displaystyle x>0\) intervallumon.

A függvény képe az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel az \(\displaystyle y\) tengely mentén lefelé, míg az \(\displaystyle x>0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel felfelé tolódik.

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon
\(\displaystyle a<0\) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle a=0\) 1
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 2
\(\displaystyle a>2\) 1
\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0<a<4\) 2
\(\displaystyle a=4\) 1
\(\displaystyle a>4\) 0

A két táblázat alapján a zérushelyek száma \(\displaystyle a\) paramétertől függően:

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle a=0\) \(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 4
\(\displaystyle 2<a<4\) 3
\(\displaystyle a=4\) 2
\(\displaystyle a>4\) 1

Rónai Máté (Kőszeg, Jurisich Miklós Gimn., 11. o. t.)


Statistics:

274 students sent a solution.
5 points:169 students.
4 points:46 students.
3 points:33 students.
2 points:9 students.
1 point:8 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley