Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1106. (January 2012)

C. 1106. Depending on the parameter a, how many zeros does the function defined by

f(x)= \left\{
\sqrt{x^2 + 4x +4}-a, & {\rm if\ } x\le 0,\cr
x^2-4x+a, & {\rm if\ } x>0 \cr


(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation


\(\displaystyle \sqrt{x^2 + 4x +4}-a=\sqrt{(x+2)^2}-a=|x+2|-a=\)

\(\displaystyle x^2-4x+a=(x-2)^2-4+a\), ha \(\displaystyle x>0\).


Ábrázoljuk a függvényt \(\displaystyle a=0\) esetén:

Nézzük meg \(\displaystyle f(x)\) zérushelyeinek számát \(\displaystyle a\) paramétertől függően az \(\displaystyle x\leq0\), illetve az \(\displaystyle x>0\) intervallumon.

A függvény képe az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel az \(\displaystyle y\) tengely mentén lefelé, míg az \(\displaystyle x>0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel felfelé tolódik.

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon
\(\displaystyle a<0\) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle a=0\) 1
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 2
\(\displaystyle a>2\) 1
\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0<a<4\) 2
\(\displaystyle a=4\) 1
\(\displaystyle a>4\) 0

A két táblázat alapján a zérushelyek száma \(\displaystyle a\) paramétertől függően:

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle a=0\) \(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 4
\(\displaystyle 2<a<4\) 3
\(\displaystyle a=4\) 2
\(\displaystyle a>4\) 1

Rónai Máté (Kőszeg, Jurisich Miklós Gimn., 11. o. t.)


274 students sent a solution.
5 points:169 students.
4 points:46 students.
3 points:33 students.
2 points:9 students.
1 point:8 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012