KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1106. Depending on the parameter a, how many zeros does the function defined by


f(x)= \left\{
\matrix{
\sqrt{x^2 + 4x +4}-a, & {\rm if\ } x\le 0,\cr
x^2-4x+a, & {\rm if\ } x>0 \cr
}\right.

have?

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás.

\(\displaystyle \sqrt{x^2 + 4x +4}-a=\sqrt{(x+2)^2}-a=|x+2|-a=\)

\(\displaystyle x^2-4x+a=(x-2)^2-4+a\), ha \(\displaystyle x>0\).

Tehát

Ábrázoljuk a függvényt \(\displaystyle a=0\) esetén:

Nézzük meg \(\displaystyle f(x)\) zérushelyeinek számát \(\displaystyle a\) paramétertől függően az \(\displaystyle x\leq0\), illetve az \(\displaystyle x>0\) intervallumon.

A függvény képe az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel az \(\displaystyle y\) tengely mentén lefelé, míg az \(\displaystyle x>0\) intervallumon \(\displaystyle a\) paraméterrel felfelé tolódik.

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x\leq0\) intervallumon
\(\displaystyle a<0\) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle a=0\) 1
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 2
\(\displaystyle a>2\) 1
\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 0<a<4\) 2
\(\displaystyle a=4\) 1
\(\displaystyle a>4\) 0

A két táblázat alapján a zérushelyek száma \(\displaystyle a\) paramétertől függően:

\(\displaystyle a\) értéke zérushelyek száma az \(\displaystyle x>0\) intervallumon
\(\displaystyle a\leq0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle a=0\) \(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle 0<a\leq2\) 4
\(\displaystyle 2<a<4\) 3
\(\displaystyle a=4\) 2
\(\displaystyle a>4\) 1

Rónai Máté (Kőszeg, Jurisich Miklós Gimn., 11. o. t.)


Statistics on problem C. 1106.
274 students sent a solution.
5 points:169 students.
4 points:46 students.
3 points:33 students.
2 points:9 students.
1 point:8 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley