Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1107. (January 2012)

C. 1107. Solve the following simultaneous equations on the set of real number pairs: 3x2-xy+3y2=16, 7x2-4xy+7y2=38.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a második egyenletből: a bal oldal szorzattá alakítható: \(\displaystyle (x-y)^2=6\).

Vonjuk ki az első egyenlet négyszereséből a második egyenletet: \(\displaystyle 5x^2+5y^2=26\).

Az első összefüggésből \(\displaystyle x=y\pm \sqrt 6\), amit a másodikba helyettesítve és osztva 10-zel az \(\displaystyle 2y^2 \pm\sqrt 6 y +0,8=0\) egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai a \(\displaystyle \frac{\mp\sqrt6\pm \sqrt{4,4}}{2}=\mp \sqrt{1,5}\pm\sqrt{1,1}\).

Az egyenletrendszer megoldásai:

\(\displaystyle x\) \(\displaystyle y\)
\(\displaystyle \sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle -\sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle \sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle -\sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle -\sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle \sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle -\sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle \sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\)

Statistics:

279 students sent a solution.
5 points:164 students.
4 points:51 students.
3 points:31 students.
2 points:16 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012