Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1107. (January 2012)

C. 1107. Solve the following simultaneous equations on the set of real number pairs: 3x2-xy+3y2=16, 7x2-4xy+7y2=38.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a második egyenletből: a bal oldal szorzattá alakítható: \(\displaystyle (x-y)^2=6\).

Vonjuk ki az első egyenlet négyszereséből a második egyenletet: \(\displaystyle 5x^2+5y^2=26\).

Az első összefüggésből \(\displaystyle x=y\pm \sqrt 6\), amit a másodikba helyettesítve és osztva 10-zel az \(\displaystyle 2y^2 \pm\sqrt 6 y +0,8=0\) egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai a \(\displaystyle \frac{\mp\sqrt6\pm \sqrt{4,4}}{2}=\mp \sqrt{1,5}\pm\sqrt{1,1}\).

Az egyenletrendszer megoldásai:

\(\displaystyle x\) \(\displaystyle y\)
\(\displaystyle \sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle -\sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle \sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle -\sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle -\sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle \sqrt{1,5}+\sqrt{1,1}\)
\(\displaystyle -\sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\) \(\displaystyle \sqrt{1,5}-\sqrt{1,1}\)

Statistics:

279 students sent a solution.
5 points:164 students.
4 points:51 students.
3 points:31 students.
2 points:16 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012