KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1108. In a right-angled triangle ABC, the altitude drawn to the hypotenuse is CD. Prove that the sum of the areas of the circles inscribed in triangles ADC and BCD equals the area of the inscribed circle of triangle ABC.

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az \(\displaystyle ACD\) háromszög beírt körének sugarát jelölje \(\displaystyle r_A\), a \(\displaystyle BCD\) háromszög beírt körének sugarát \(\displaystyle r_B\), az \(\displaystyle ABC\) háromszögét pedig \(\displaystyle r\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz hasonló mind az \(\displaystyle ADC\), mind a \(\displaystyle BCD\) háromszög: a hasonlóságok arányát felírva rendre kapjuk, hogy \(\displaystyle \frac{r_B}{r}=\frac ac\) és \(\displaystyle \frac{r_A}{r}=\frac bc\). A kisebb körök területének összege

\(\displaystyle r_A^2 \pi + r_B^2 \pi = \frac{a^2 r^2 + b^2 r^2}{c^2}\cdot \pi=r^2 \pi,\)

ahol felhasználtuk Pithagorasz tételét.


Statistics on problem C. 1108.
228 students sent a solution.
5 points:135 students.
4 points:47 students.
3 points:20 students.
2 points:11 students.
1 point:4 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley