Problem C. 1115. (March 2012)
C. 1115. Show that n2(n2-1)(n2-n-2) is divisible by 48 for all natural numbers n.
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel \(\displaystyle n^2 (n^2 -1)(n^2-n-2)=n^2 (n-1)(n+1)(n-2)(n+1)\) szorzat négy egymást követő egész szám szorzatát tartalmazza,ezért e négy szám közül biztos, hogy kettő páros, sőt az egyik osztható 4-gyel, ezért a szorzat osztható 8-cal, másrészről a négy szám közül legalább egy osztható 3-mal: a négy szám szorzata osztható 24-gyel. Ezen felül a szorzat két további tényezője \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\), melyek közül az egyik páros, tehát biztos, hogy a szorzat \(\displaystyle 24\cdot 2=48\)-cal osztható.
Statistics:
237 students sent a solution. 5 points: 184 students. 4 points: 18 students. 3 points: 14 students. 2 points: 7 students. 1 point: 4 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012