Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1115. (March 2012)

C. 1115. Show that n2(n2-1)(n2-n-2) is divisible by 48 for all natural numbers n.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle n^2 (n^2 -1)(n^2-n-2)=n^2 (n-1)(n+1)(n-2)(n+1)\) szorzat négy egymást követő egész szám szorzatát tartalmazza,ezért e négy szám közül biztos, hogy kettő páros, sőt az egyik osztható 4-gyel, ezért a szorzat osztható 8-cal, másrészről a négy szám közül legalább egy osztható 3-mal: a négy szám szorzata osztható 24-gyel. Ezen felül a szorzat két további tényezője \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\), melyek közül az egyik páros, tehát biztos, hogy a szorzat \(\displaystyle 24\cdot 2=48\)-cal osztható.


Statistics:

237 students sent a solution.
5 points:184 students.
4 points:18 students.
3 points:14 students.
2 points:7 students.
1 point:4 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012