English Információ A lap Pontverseny Cikkek Hírek Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1117. We have drawn a rectangle on squared paper, such that (its sides are lattice lines and) it consists of n small lattice squares. Prove that if the half of the number of lattice points on the boundary of the rectangle is added to the number of lattice points in its interior, and 1 is subtracted from the sum then the result will be n.

(5 points)

Deadline expired on 10 April 2012.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a rácstéglalap oldalainak hossza $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ ($\displaystyle a$, $\displaystyle b$ pozitív egészek): a téglalap $\displaystyle a\cdot b=n$ kis rácsnégyzetből áll, a határvonalán található rácspontok száma $\displaystyle 4+2(a-1)+2(b-1)=2a+2b$, a belsejébe eső pontok száma pedig $\displaystyle (a-1)(b-1)$. Tehát $\displaystyle (a-1)(b-1)+\frac{2a+2b}{2}-1$ összeget kell kiszámolnunk, ami $\displaystyle (ab-a-b+1)+(a+b)-1=ab=n$.

Statistics on problem C. 1117.
 217 students sent a solution. 5 points: 172 students. 4 points: 28 students. 3 points: 1 student. 2 points: 5 students. 1 point: 4 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 4 solutions.

• Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012

•  Támogatóink: Morgan Stanley