KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1117. (March 2012)

C. 1117. We have drawn a rectangle on squared paper, such that (its sides are lattice lines and) it consists of n small lattice squares. Prove that if the half of the number of lattice points on the boundary of the rectangle is added to the number of lattice points in its interior, and 1 is subtracted from the sum then the result will be n.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a rácstéglalap oldalainak hossza \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) pozitív egészek): a téglalap \(\displaystyle a\cdot b=n\) kis rácsnégyzetből áll, a határvonalán található rácspontok száma \(\displaystyle 4+2(a-1)+2(b-1)=2a+2b\), a belsejébe eső pontok száma pedig \(\displaystyle (a-1)(b-1)\). Tehát \(\displaystyle (a-1)(b-1)+\frac{2a+2b}{2}-1\) összeget kell kiszámolnunk, ami \(\displaystyle (ab-a-b+1)+(a+b)-1=ab=n\).


Statistics:

217 students sent a solution.
5 points:172 students.
4 points:28 students.
3 points:1 student.
2 points:5 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley