KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1118. (March 2012)

C. 1118. Solve the equation 4x^2 + \frac34 = 2\sqrt x on the set of real numbers.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Elsőként megjegyezzük, hogy \(\displaystyle x\ge 0\). Az egyenlet mindkét oldalához adjunk \(\displaystyle 4x+\frac{1}{4}\)-et: \(\displaystyle 4x^2+4x+1=4x+2\sqrt x + \frac 14\) egyenlet felírható \(\displaystyle (2x+1)^2=\left (2\sqrt x +\frac 12 \right )^2\) alakba, ahonnan \(\displaystyle |2x+1|=\left |2\sqrt x +\frac 12 \right |\). Mivel \(\displaystyle 2x+1>0\) és \(\displaystyle 2\sqrt x + \frac 12 >0\), ezért az abszolút-érték elhagyható: \(\displaystyle 2x+1=2\sqrt x + \frac 12\). Ez az egyenlet \(\displaystyle \sqrt x\)-re nézve másodfokú, egyetlen megoldása a \(\displaystyle \sqrt x =\frac 12\), ahonnan \(\displaystyle x=\frac14\).


Statistics:

175 students sent a solution.
5 points:112 students.
4 points:16 students.
3 points:24 students.
2 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley