KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1121. (April 2012)

C. 1121. Prove that if n is a natural number then the value of the sum \frac{3^{2n}}{112}-\frac{4^{2n}}{63}+\frac{5^{2n}}{144} is an integer.

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \frac{3^{2n}}{112}-\frac{4^{2n}}{63}+\frac{5^{2n}}{144}=\frac{9\cdot3^{2n}-16\cdot4^{2n}+7\cdot5^{2n}}{7\cdot9\cdot16}. Mivel a 7, a 9 és 16 egymáshoz relatív prímek, azért ez a tört pontosan akkor egész szám, ha a 7, a 9 és a 16 is osztja a számlálóját.

1)

7|9\cdot3^{2n}-16\cdot4^{2n}+7\cdot5^{2n} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow7|3^{2n+2}-4^{2n+2}=(3+4)(3^{2n+1}-3^{2n}\cdot4+\ldots-4^{2n+1}).

Ez utóbbi szorzat második tényezője egész, így a szorzat osztható 7-tel.

2)

9|9\cdot3^{2n}-16\cdot4^{2n}+7\cdot5^{2n}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow9|7\cdot5^{2n}-4^{2n+2}.

Ezt teljes indukcióval látjuk be. Ha n=1, akkor 7.25-44=-81 osztható 9-cel. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=k-ra és írjuk fel n=k+1-re:

25.(7.52k)-16.42k+2=16.(7.52k-42k+2)+9.(7.52k).

Az összeg első tagjának második tényezője az indukciós feltevés miatt osztható 9-cel, a második tag is osztható vele, így az összegük is.

3)

16|9\cdot3^{2n}-16\cdot4^{2n}+7\cdot5^{2n}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow16|3^{2n+2}+7\cdot5^{2n}.

Ezt is teljes indukcióval látjuk be. Ha n=1, akkor 34+7.25=256 osztható 16-tal. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=k-ra és írjuk fel n=k+1-re:

9.32k+2+25.7.52k=9.(32k+2+7.52k)+16.7.52k.

Az összeg első tagjának második tényezője az indukciós feltevés szerint osztható 16-tal; a második tag szintén osztható 16-tal, így az összeg is.


Statistics:

127 students sent a solution.
5 points:102 students.
4 points:12 students.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley