Problem C. 1124. (April 2012)
C. 1124. Solve the following simultaneous equations: xx+y=y3, yx+y=x12.
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Kikötések: x>0, y>0. Vegyük mindkét egyenletben a két oldal 10-es alapú logaritmusát:
lg xx+y=lg y3,
lg yx+y=lg x12.
Ezekből
(x+y)lg x=3lg y,
(x+y)lg y=12lg x.
Ha lg x vagy lg y közül valamelyik 0, akkor abból x=1 és y=1 következik. Ha egyik sem 0, akkor a két egyenletet elosztva egymással:
Ebből
Ha , akkor , vagyis . Ezt behelyettesítve az eredeti első egyenletbe:
mivel most y1, ezért a függvények szigorú monotonitása miatt
Ez -ra másodfokú egyenlet, gyökei 2 és -3. Ez utóbbi negatív, tehát nem jó. Az elsőből pedig y=4 és következik.
Ha , akkor , amiből . Ezt az eredeti második egyenletbe helyettesítve:
amiből a szigorú monotonitás miatt
következik. Azonban itt a baloldal pozitív, a jobb oldal negatív, ami lehetetlen.
Az egyenletrendszer megoldása tehát az x1=1, y1=1 és az x2=2, y2=4 számpár.
Statistics:
118 students sent a solution. 5 points: Antalicz Balázs, Beke P. Tamás, Fekete Panna, Holczer András, Nagy Zsuzsika, Patkó Richárd, Petrényi Márk, Tóth Zsófia, Varga 911 Szabolcs. 4 points: 76 students. 3 points: 21 students. 2 points: 7 students. 1 point: 3 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012