 |
A C. 1125. feladat (2012. május) |
C. 1125. Egy három oszlopos táblázatot soronként a következő módon töltöttünk ki. Az első oszlop n-edik sorába beírjuk 2n-t az egyes helyiértéken álló számjegye nélkül. A második oszlop n-edik sorába beírjuk az első oszlopban elhagyott számjegyet. Végül a harmadik oszlop n-edik sorába a sorban előtte álló két szám szorzata kerül. Igazoljuk, hogy a harmadik oszlopban álló számok oszthatók hattal.
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel a 2-hatványok párosak, ezért az utolsó jegyük páros, így a szorzat is az.
A kettő hatványok 3-mal való osztási maradéka rendre 2, 1, 2, 1 stb. Az utolsó számjegyek 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 stb., az osztási maradék így szintén 2, 1, 2, 1 stb. Mivel a 3-mal való osztási maradék a számok összegének osztási maradékával megegyezik, azért az első oszlopban található számok mind oszthatók 3-mal, így a szorzatok is.
A szorzatok oszthatók 2-vel és 3-mal, így 6-tal is.
Statisztika:
125 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 82 versenyző. 4 pontot kapott: 23 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai